ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

§ 19. Теорема Лузина

В этом параграфе мы докажем теорему Лузина. Нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.

Определение 19.1. Пусть функция определена на некотором множестве Тогда она называется непрерывной на этом множестве, если для любого выполнено равенство

Лемма 19.1. Пусть такое замкнутое подмножество -мерного отрезка что ни одна точка этого подмножества не является его точкой усиленного разрежения (см. § 9), функция, непрерывная на Тогда существует непрерывная на функция совпадающая на с функцией

Доказательство. Для любого определим расстояние Ясно, что функция непрерывна на и что при Для каждого определим множество где шар с центром в точке радиуса Теперь введем функцию

Поскольку множество не имеет точек усиленного разрежения, по определению расстояния для любого

и, следовательно, функция определена корректно. На множестве она, очевидно, совпадает с Установим непрерывность функции

Поскольку функция непрерывна на функция на является композицией непрерывных отображений, а потому и сама непрерывна на Рассмотрим случай, когда Пусть задано Выберем так, чтобы при выполнялось неравенство Пусть теперь и Если то доказывать нечего, а если у то и потому для любого выполнено неравенство Следовательно (см. следствие 15.2),

и лемма полностью доказана.

Лемма 19.2. Пусть простая функция на Тогда для любого существует такое замкнутое множество что и функция непрерывна на по множеству

Доказательство. Сначала отметим, что если функция постоянна на замкнутом множестве то она непрерывна на этом множестве. Если теперь

где

то (см. следствие 9.1) можно выбрать замкнутые множества так, чтобы при Тогда множество

будет искомым.

Теорема 19.1 (теорема Лузина). Пусть конечная и измеримая относительно классической меры Лебега на -мерном отрезке функция. Тогда для любого существует такая непрерывная на функция что

Доказательство. Достаточно доказать теорему для неотрицательной функции Используя лемму 15.1, построим последовательность простых функций при Далее, по лемме 19.2 для каждого выберем замкнутое множество так, чтобы и чтобы функция была непрерывна на Пусть задано Выберем так, что Отметим, что если

то

и последовательность непрерывных на В функций сходится на этом множестве к функции По теореме Егорова можно выбрать множество на котором эта сходимость будет равномерной и такое, что При этом (см. следствие 9.1) множество можно также считать замкнутым. По известной теореме из курса математического анализа, функция непрерывна на множестве Это множество замкнуто, и применяя лемму 9.1, можно найти замкнутое множество не имеющее точек усиленного разрежения и такое, что Для завершения доказательства теоремы остается только продолжить непрерывную на функцию до непрерывной на функции воспользовавшись леммой 19.1.

Замечание 19.1. В теореме Лузина, разумеется, можно считать, что функция конечна лишь почти всюду на

Представляется любопытным, что вариант теоремы Лузина, упомянутый в замечании 19.1, допускает несложное обращение.

Утверждение 19.1. Если функция определена на -мерном отрезке и такова, что для любого

найдется непрерывная на функция для которой где классическая мера Лебега, то измерима на относительно и конечна почти всюду на

Доказательство. Для подберем непрерывные на функции так, чтобы для множеств выполнялось неравенство Поскольку

при по теореме 13.1 последовательность почти всюду на Тогда, согласно следствию 10.1 и замечанию 10.6, функция измерима на Наконец, для каждого имеем

а потому конечна почти всюду на