§ 12. Сходимость по мере и ее свойства

Предположим, что измеримые и конечные на измеримом пространстве функции.

Определение 12.1. Говорят, что последовательность на X при (сходится по мере на X), если для любого предел

Поскольку определение сходимости по мере существенно отличается от определений поточечной и равномерной сходимости, установим некоторые свойства этой сходимости.

Теорема 12.1. Предел последовательности функций, сходящихся по мере, единственен с точностью до эквивалентности.

Доказательство. Предположим, что последовательность при Тогда для любого для любого имеем

откуда ясно, что почти всюду.

Теорема 12.2. Пусть при Тогда при

Доказательство. Утверждение теоремы сразу вытекает из верного для любого и для любого включения

Теорема 12.3. Если открытое множество функция непрерывна на множестве а последовательность при причем все функции и функция отображают множество то при

Доказательство. Пусть заданы Из теоремы 9.2 вытекает, что справедливо представление

где все множества компактны в т. е. замкнуты и ограничены, и Рассмотрим прообразы при При этом и

По теореме о непрерывности меры можно подобрать так, чтобы

Пусть расстояние от компакта до замкнутого множества Определим компакт

Тогда функция равномерно непрерывна на К, и, следовательно, существует такое что при имеем

Выберем таким образом, чтобы при выполнялось неравенство

Теперь а если то откуда Теорема доказана.

Следствие 12.1. Если и последовательность сходится по мере к при то при Если же, вдобавок, функции при не обращаются в нуль на X, то

Замечание 12.1. Как показывает пример последовательности на прямой условие конечности меры X существенно для справедливости следствия 12.1.

Следствие 12.2. Если последовательность при при то при

Доказательство. Утверждение сразу вытекает из теоремы 12.2, следствия 12.1 и следующих равенств:

Следствие 12.3. Если при причем функции при не обращаются в нуль на X, то при

В заключение этого параграфа установим критерий Коши для сходимости по мере.

Теорема 12.4. Для того чтобы последовательность сходилась по мере к конечной измеримой функции на X, необходимо и достаточно, чтобы для любого и для любого нашлось такое число что при выполняется неравенство

Доказательство. Вначале докажем необходимость. Если при то при любых фиксированных найдется такое число что при выполняется неравенство

Но тогда при имеем

Теперь установим достаточность. Ясно, что можно выбрать возрастающую последовательность натуральных чисел так, чтобы для множеств

выполнялась оценка Пусть

Тогда, очевидно, Если же то числовая последовательность фундаментальна, и, стало быть, существует конечный предел

Согласно следствию 10.1 функция измерима на доопределив ее нулем на множестве А, получим, что измерима на

Докажем, что на X при Прежде всего, для любого натурального если

то при имеем

откуда и Поэтому при имеем

Теперь, для фиксированных подберем такое что при выполняется неравенство

После этого возьмем таким, что и зафиксируем Тогда при имеем

что и требовалось установить.