§ 21. «сигма»-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини

Сначала докажем теорему о -аддитивности произведения -аддитивных мер на полукольцах, которая упоминалась в восьмом параграфе.

Теорема 21.1. Пусть меры -аддитивны на полукольцах соответственно. Тогда определенная в § 8 мера на полукольце также -аддитивна.

Доказательство. Пусть

где Рассмотрим полукольцо с единицей Тогда -аддитивная мера на и ее можно продолжить по Лебегу. Обозначим результат такого продолжения через Теперь определим при функцию Тогда простая функция на так как для каждого

то

Кроме того,

Поскольку, согласно следствию 16.2, здесь можно поменять местами суммирование и интегрирование,

что и требовалось доказать.

Определение 21.1. Если меры на полукольцах с единицами соответственно, то их прямым произведением мы будем называть лебеговское продолжение меры с полукольца с единицеи на лебеговскую -алгебру. Таким же образом будет обозначаться и произведение -конечных мер.

В дальнейшем до конца этого параграфа будем считать, что это -алгебры. Как всегда, через обозначим наименьшее кольцо, содержащее полукольцо 5, а через лебеговскую -алгебру, на которой определена мера

Прежде чем мы сможем в полном объеме доказать теорему Фубини, установим некоторые ее частные случаи. Предварительно введем такое обозначение. Если множество то при любом обозначим через соответствующее сечение, т. е.

Аналогично, при любом определяется сечение

Теорема 21.2. Пусть меры -конечны и полны, множество . Тогда для почти всех, относительно меры точек сечение и

Здесь мы произвольным образом доопределяем функцию в тех точках, где она не существует. Разумеется, аналогичное представление остается справедливым и если мы поменяем ролями

Доказательство. Ясно, что утверждение теоремы справедливо для множеств а тогда, в силу линейности обеих частей формулы (21.1), и для Предположим, что утверждение теоремы выполняется для цепочки вложенных множеств из Проверим, что теорема остается справедливой и для множества В.

Действительно, для любого имеем Тогда для почти всех множество Далее, для почти

всех функции при Поэтому, в силу полноты меры функция измерима на используя теорему Беппо Леви и теорему о непрерывности меры, получим, что

Точно так же устанавливается, что если условия теоремы справедливы для цепочки вложенных множеств из то она остается справедливой и для множества В.

Пусть теперь Тогда по теореме 9.1 это множество можно представить в виде

где для любого если Выше была установлена справедливость теоремы для Так как соответствующее множество также имеет меру 0. Тогда, поскольку

и подинтегральная функция неотрицательна, мы получаем, что для почти всех относительно меры Поскольку и мера полна, отсюда вытекает, что и для почти всех относительно меры Тогда из-за полноты меры функция -измерима и

т. е. для измеримых множеств меры теорема установлена.

Пусть, наконец, произвольное измеримое Тогда снова имеет место представление (21.2). Теорема уже установлена для множеств а тогда в силу аддитивности меры и линейности интеграла, утверждение справедливо и для множества

Теорема 21.3. Пусть меры и полны, множество функция измерима на и неотрицательна. Тогда для почти всех относительно меры функция функция

-измерима и

Аналогичная формула остается справедливой и если мы поменяем ролями

Доказательство. По теореме 21.2 утверждение верно для характеристических функций -измеримых множеств с конечной мерой. Тогда оно справедливо и для любой простой функции на Теперь построим согласно лемме 15.1 последовательность неотрицательных простых функций дп(х, у) на Применяя к данной последовательности теорему Беппо Леви (в правой части — вначале для внутреннего интеграла, а затем — для внешнего) и теорему об измеримости предела последовательности измеримых функций, установим справедливость теоремы в общем случае.

Из только что доказанного результата моментально следует утверждение, которое обычно и называют теоремой Фубини.

Теорема 21.4. Пусть меры -конечны и полны, множество и функция Тогда для почти всех относительно меры функция -измерима, функция

Аналогичные утверждения справедливы и для другого повторного интеграла.

Замечание 21.1. Следует отметить, что в общем случае даже существование обоих повторных интегралов и их равенство не влечет существования двойного интеграла. В качестве примера можно рассмотреть функцию при и классическую меру Лебега на