§ 9. Структура измеримых множеств

Для дальнейшего нам понадобится такой результат о структуре измеримых по Лебегу множеств.

Теорема 9.1. Пусть -конечная мера Лебега на -алгебре полученная продолжением некоторой -аддитивной меры с полукольца множество Тогда А можно представить в виде

где множества при для любого если при то

Доказательство. По определению меры Лебега для любого натурального найдется такое множество что Положим при Тогда где все Кроме того, множества монотонно невозрастают, Обозначая при установим справедливость теоремы.

В ряде вопросов теории функций большое значение имеют понятия открытых и замкнутых множеств. Вообще говоря, они никак не связаны с теорией меры. Однако для классической меры Лебега на подмножествах отрезка в такая связь существует.

Замечание 9.1. Открытые и замкнутые множества в являются измеримыми относительно классической меры Лебега. Для открытых множеств это вытекает из измеримости любого открытого интервала, а также из того, что произвольное открытое множество в можно представить в виде объединения не более чем счетного набора открытых интервалов. Замкнутые же множества измеримы, поскольку измеримы их дополнения.

Следствие 9.1. Пусть классическая мера Лебега на и множество А измеримо по Лебегу. Тогда справедливы представления

где множества открыты при всех замкнуты при всех

Доказательство. Прежде всего напомним что открытым в называется множество, содержащее вместе с каждой точкой некоторую сферу положительного радиуса, а замкнутым называется множество, дополнение к которому открыто.

Утверждение достаточно установить для множеств конечной меры. Поскольку в случае классической меры Лебега любое множество из отличается от открытого лишь на множество меры 0, а объединение любого числа открытых множеств

снова является открытым множеством, первое утверждение следствия вытекает из теоремы 9.1. Далее, если множество А измеримо, то измеримо и его дополнение Применяя к уже доказанную часть следствия и снова переходя к множеству А, устанавливаем справедливость и второй части следствия.

Сказанное выше приводит к следующему эквивалентному определению классической меры Лебега на

Определение 9.1. Для произвольного множества определим внешнюю и внутреннюю меры Лебега равенствами

Теперь скажем, что А измеримо в том и только в том случае, когда Это общее значение называется мерой А.

В связи с изложенным выше установим одно свойство замкнутых множеств в

Определение 9.2. Пусть А — измеримое относительно классической меры Лебега подмножество и точка Тогда скажем, что является точкой усиленного разрежении для А, если найдется открытый шар для которого

Лемма 9.1. Пусть замкнутое подмножество и Тогда найдется такое замкнутое множество что и ни одна точка К не является его точкой усиленного разрежения.

Доказательство. Пусть это совокупность всех точек усиленного разрежения множества соответствующий шар из определения 9.2 для Тогда множество

открыто и, следовательно, множество замкнуто. Докажем, что

Действительно, если эта мера положительна, то найдется цепочка таких строго вложенных друг в друга шаров

с радиусами при что при всех Эти шары стягиваются к некоторой точке . В силу замкнутости и вложенности всех шаров в А имеем Но тогда по построению точка лежит в некотором шаре, мера пересечения которого с равна нулю, и мы пришли к противоречию. Поэтому (9.1) выполняется и, поскольку выполнено равенство Наконец, из условия (9.1) вытекает, что для любого открытого шара В выполнено условие а потому никакая точка множества К не является его точкой усиленного разрежения. Тем самым лемма установлена.

Теперь установим характеристическое свойство открытых множеств на прямой, справедливое только в одномерной ситуации. Оно будет нужно для дальнейших рассмотрений.

Теорема 9.2. Пусть открытое множество Тогда где один или два интервала могут иметь бесконечные концы и, разумеется, объединение может быть конечным.

Доказательство. Введем на А следующее отношение эквивалентности: если интервал Тогда А можно представить в виде дизъюнктного объединения классов эквивалентности. Поскольку любое непересекающееся множество интервалов на прямой не более чем счетно, теорема будет установлена, если мы докажем, что каждый класс эквивалентности является интервалом.

Пусть К — такой класс. Положим . Будем считать, что иначе доказательство только упрощается. Если с то существуют такие что , откуда Таким образом, . Предположим, что Тогда для некоторого интервал . Но по доказанному точка а откуда и мы получили противоречие с определением а. Аналогично проверяется, что

В заключение, установим один важный технический результат, который представляет и самостоятельный интерес.

Теорема 9.3 (теорема Витали). Пусть классическая мера Лебега на прямой, ограниченное подмножество прямой. Тогда если такая система невырожденных отрезков, что для любого и для любого

найдется такой отрезок что этом случае говорят, что множество покрыто системой в смысле Витали), то можно выбрать такую не более чем счетную систему непересекающихся отрезков что

Доказательство. Отметим, что в силу ограниченности множества можно считать, что все отрезки системы лежат внутри некоторого интервала Процесс выделения отрезков проведем индуктивно. Вначале определим величину

Выберем отрезок так, чтобы После этого определим множество

Предположим теперь, что нами уже выбраны непересекающиеся отрезки и построены множества Если множество то полагаем и считаем процесс законченным, в противном случае положим

и выберем отрезок так, чтобы После этого определим множество

В результате мы построим конечную или счетную систему непересекающихся отрезков Очевидно также, что числа при Если I — некоторый невырожденный отрезок, то через будем обозначать отрезок с тем же центром, длина которого в 5 раз больше длины

Сначала рассмотрим случай, когда выделенная нами последовательность отрезков конечна: Тогда если бы нашлась точка

то, согласно условию, нашелся бы и отрезок где расстояние от до замкнутого множества а это противоречит тому, что Следовательно, в рассматриваемом случае и теорема установлена. Если же система отрезков счетна, то положим

Пусть I — натуральное число и Тогда, так как

и множество замкнуто, найдется отрезок содержащий точку и не пересекающийся с Очевидно, что Так как для достаточно больших к, найдется такое натуральное что . В этом случае Но отсюда следует, что Поэтому

а тогда

Ввиду того что

а число I произвольно, отсюда вытекает, что а это и нужно было установить.

Следствие 9.2. Если выполнены условия теоремы Витали, то можно выбрать такую конечную систему непересекающихся отрезков что