ГЛАВА 6. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ

§ 28. Гильбертово пространство

Определение 28.1. Пусть линейное пространство над С. Тогда оно называется евклидовым, если задано такое отображение

1) для всех

2) для всех

3) действительное неотрицательное число, причем тогда и только тогда, когда

Это отображение называется скалярным произведением.

Аналогично определяется и евклидово пространство над полем Естественно, в этом случае в правой части условия 2) нет знака сопряжения. В дальнейшем будут рассматриваться только комплексные евклидовы пространства, так как в действительном случае доказательства лишь упрощаются.

Примером евклидова пространства может служить со скалярным произведением

В частности, евклидовым будет пространство 12.

Проверим, что в любом евклидовом пространстве можно естественным образом ввести норму (см. § 22). Введем при функцию При этом требования 1 и 2 определения 22.1, очевидно, выполняются.

Теорема 28.1 (неравенство Коши-Буняковского). Для любых имеем

Доказательство. Если то утверждение очевидно. В противном случае положим где и Пусть Тогда Для любого действительного имеем

По определению имеем

Поэтому при всех

Отсюда дискриминант данного квадратного трехчлена

и теорема доказана.

Следствие 28.1. Функция является нормой.

Доказательство. Достаточно проверить неравенство треугольника. Для любых х,у имеем

что и требовалось доказать.

Замечание 28.1. Непосредственно проверяется, что для любых элементов х, у евклидова пространства выполняется тождество параллелограмма

Определение 28.2. Если евклидово пространство бесконечномерно и полно относительно введенной нормы, то оно называется гильбертовым.

Отметим, что по теореме 23.1 пространство является гильбертовым.

Определение 28.3. Пусть полное линейное нормированное пространство и его линейное подпространство. Если для любой сходящейся в последовательности элементов ее предел то подпространство называется замкнутым.

Теорема 28.2. Пусть гильбертово пространство, замкнутое подпространство Тогда существует единственный такой элемент что

Доказательство. Пусть последовательность элементов такова, что

Согласно замечанию 28.1

Поскольку правая часть данного неравенства мала при больших пит, последовательность фундаментальна. Пусть . В силу замкнутости элемент Так как норма — непрерывная функция (см. неравенство треугольника), имеем

Теперь установим единственность. Предположим, что для некоторого норма Тогда по замечанию 28.1

а это и нужно было установить.

Теорема 28.3. Пусть гильбертово пространство, замкнутое подпространство пространства при всех Тогда т. е. для любого существует единственное разложение где

Доказательство. Сначала докажем, что Действительно, если то откуда Поэтому если разложение существует, то оно единственно.

Пусть Если то полагаем . В противном случае по теореме 28.2 найдем такое что Положим Докажем, что Пусть Тогда функция действительного переменного имеет минимум при а так как эта функция — квадратный трехчлен, то она дифференцируема по и

Рассматривая вместо элемент получим из аналогичных соображений, что

Таким образом, что и требовалось доказать.