§ 7. Неизмеримые множества

Из построения меры Лебега осталось неясным, ли неизмеримые относительно этой меры множества. Отве на этот вопрос зависит, во-первых, от исходной меры вторых, от принятия аксиомы выбора.

Как уже говорилось выше, в данном курсе аксиома выбора принимается безоговорочно. Разумеется, неизмеримых множеств не будет, если, например, объявить меру подмножества действительной прямой равной 1 при условии, что это подмножество содержит точку в противном случае. Однако для классической меры Лебега такие множества есть. При построении неизмеримых множеств большую роль играет инвариантность классической меры Лебега относительно сдвигов (см. замечание 3.4).

Теорема 7.1. Пусть измеримое по Лебегу множество и Тогда существует неизмеримое множество .

Доказательство. Введем на такое отношение эквивалентности: если где множество рациональных чисел. Рефлексивность, симметричность и транзитивность в данном случае очевидны, а потому по известной алгебраической теореме

где На — соответствующий класс эквивалентности. В соответствии с аксиомой выбора образуем множество содержащее ровно по одному представителю из каждого класса .

Теперь занумеруем все рациональные числа отрезка Получим последовательность где Положим при Предположим, что при некоторых выполнено условие Тогда найдется число а, имеющее два представления: Но отсюда а поскольку в не может быть двух разных представителей одного и того же класса, т. е. Полученное противоречие доказывает, что при

Предположим, что одно из множеств содержит измеримое подмножество положительной меры Тогда, в силу инвариантности меры Лебега относительно сдвига (см. замечание 3.4), при любом множества будут измеримы и Но

откуда

и мы пришли к противоречию.

С другой стороны (см. (7.1)), для любого найдутся такие что т. е. Поэтому

Отсюда

Если все множества измеримы, то хотя бы одно из них должно иметь положительную меру а это, как мы установили ранее, невозможно. Теорема 7.1 доказана.