§ 1.8. Статистические задачи; трансформация шумовых импульсов в диспергирующих средах

Для шумовых импульсов важен весь круг вопросов, рассмотренных в предыдущих параграфах. Однако если для регулярных импульсов интерес представляет поведение огибающей и фазы, то в случае шумовых импульсов — статистические характеристики, в первую очередь такие, как средние интенсивность и длительность импульса, корреляционная функция и время корреляции. Выполненные к настоящему времени исследования в значительной мере решают проблему распространения шумовых импульсов в диспергирующих средах. Детально изучено распространение шумовых импульсов как во втором [31, 71], так и в третьем приближении теории дисперсии [201. Рассмотрены особенности расплывания импульсов многомодового лазерного излучения [72] и отражение шумового импульса от дифракционной решетки [73], проанализировано взаимное влияние неполной пространственной и временной когерентности при распространении импульса в диспергирующей среде [74]. Подчеркнем, что на основе пространственно-временной аналогии на шумовые импульсы могут быть перенесены результаты теории распространения частично когерентных пучков в линейных средах [16].

Особый класс статистических задач оптики коротких импульсов связан с их распространением и рассеянием в случайно-неоднородных средах (см., например, [75—78]). Недавно [78] изучено многократное рассеяние пикосекундных импульсов в неоднородных средах в условиях сильной локализации фотонов где I — средняя длина свободного пробега). Авторы [79] синтезировали импульсы треугольной формы при помощи отражения сверхкороткого гауссовского лазерного импульса от шероховатой поверхности конуса.

Ниже обсуждаются некоторые вопросы распространения шумовых импульсов в диспергирующих средах.

Длительность и время корреляции шумовых импульсов. Будем рассматривать распространение шумовых импульсов (1.1.33), имеющих гауссовскую форму огибающей и случайную модуляцию с корреляционной функцией Корреляционная функция исходного шумового импульса имеет вид

Для начального условия (1) корреляционную функцию в среде можно найти аналитически. Пользуясь (1.1.15), во втором приближении теории дисперсии имеем

Величина дисперсионная длина шумового импульса, которую можно записать как

где ширина спектра шумового импульса.

Согласно (2) длительность импульса и время корреляции в среде равны [31, 71]

Формулы (5) полностью совпадают с формулами для радиуса пучка и радиуса корреляции случайных световых пучков при замене и на [16]. Импульс со случайной модуляцией расплывается быстрее, чем спектрально-ограниченный той же длительности. Шумовой импульс, как и случайный пучок, обладает фундаментальным статистическим свойством — так называемый коэффициент когерентности импульса есть постоянная величина [16]. В [31] установлено, что этот статистический инвариант имеет место в том случае, когда огибающая и корреляция описываются одинаковыми функциями.

Длительность импульса и время корреляции в (3) входят неравноправно: при дисперсионная длина а при она неограниченно растет, Последнее означает, что в диспергирующей среде время корреляции стационарного шума не меняется. При фиксированной ширине спектра шумового импульса дисперсионная длина тем больше, чем больше длительность (см. (4)). В дальней зоне импульса в предельном случае

в соответствии с (5)

Здесь время корреляции тк определяется начальной длительностью а длительность импульса в среде напротив, — начальным временем корреляции

В случае компрессии шумового импульса, или распространения шумового импульса с линейной в диспергирующей среде, для длительности и времени корреляции имеем

При этом длина компрессии и максимальный коэффициент компрессии равны

Случайная модуляция импульса уменьшает значения Особенно наглядно это видно для сильно некогерентных импульсов при

Анализ совместного влияния квадратичной и кубичной дисперсий среды на распространение и компрессию шумового импульса выполнен в [20, 211, где получены выражения для среднеквадратичной длительности импульса.

Временной аналог теоремы Ван Циттерта — Цернике. Результат (6) для времени корреляции можно интерпретировать как следствие временного аналога известной теоремы Ван Циттерта — Цернике для пространственно некогерентных пучков. Действительно, считая случайный процесс -коррелированным, и используя (1.1.15), для корреляционной функции импульса в среде получаем

Формула (11) выражает теорему Ван Циттерта — Цернике для шумового импульса: корреляционная функция импульса в диспергирующей среде связана фурье-преобразованием с начальным распределением интенсивности -коррелированного импульса. Согласно (11) для длительности импульса значение существенно уменьшается при а время корреляции что совпадает с (6). Отметим, что обращение (11) позволяет восстановить первоначальную форму импульса

причем достаточно измерений корреляционной функции между значениями поля, взятыми в симметричных точках

Взаимное влияние временных и пространственных флуктуаций. Эта задача обстоятельно рассмотрена в [74]. Результаты получены в рамках нестационарного уравнения дифракции (1.6.1) для факторизованной корреляционной функции поля исходного импульса

где временная корреляционная функция определяется (1) и аналогичный вид имеет пространственная корреляционная функция пучка с радиусом и радиусом корреляции Остановимся на некоторых результатах расчета [74].

Прежде всего заметим, что в диспергирующей среде в дальней зоне корреляционная функция поля шумового импульса не факторизуется. В частности, пространственно-временное распределение средней интенсивности дается выражением

Здесь

Длительность импульса определяется (1.6.5). Время корреляции

На оси пучка время корреляции не зависит от расстояния Иначе обстоит дело с например, при Если то при их о время корреляции тк и оно при меньше исходного значения

Таким образом, неполная пространственная когерентность излучения приводит к уменьшению временной когерентности импульса в среде. В случае же время корреляции при т. е. здесь пространственная некогерентность не влияет на временную. Разумеется, неполная временная когерентность импульса оказывает влияние, в свою очередь, на его пространственную когерентность; читатель, интересующийся этим вопросом, может обратиться к работе [74].