§ 2.7. Стационарные импульсы — солитонный режим распространения

Одним из интереснейших явлений в физике нелинейных волн является формирование устойчивых волновых пакетов, распространяющихся на значительные расстояния без изменения формы. Нелинейная оптика играет в последние годы все большую роль в солитонной физике. В нелинейно-оптических процессах можно указать по крайней мере три типа солитонов. Прежде всего это так называемые шредингеровские солитоны, где возникновение устойчивых импульсов связано с балансом действия дисперсии и нелинейности в прозрачной среде. Генерация солитонов возможна и в условиях, когда под влиянием световых импульсов возникает изменение разности населенностей среды — «резонансные» солитоны. В этом случае солитон формируется, если площадь импульса (интеграл по времени от огибающей) превышает пороговое значение, а длительность импульса меньше характерных времен релаксации. Наконец, оптические солитоны могут возникнуть в среде с квадратичной нелинейностью при взаимодействии волн с сильно различающимися частотами. Образование солитонов здесь связано с балансом эффектов группового запаздывания волн и нелинейного взаимодействия. Этот вид солитонов обсуждается в § 3.4. В настоящем параграфе рассматриваются шредингеровские и резонансные солитоны.

Совместное действие нелинейности и дисперсии среды; шредингеровские солитоны. Самовоздействие световых импульсов в нелинейной среде, сопровождаемое уширением, может привести к необходимости учета дисперсии среды во втором и более высоком приближениях линейной теории дисперсии. Эта наиболее реальная и часто теперь встречающаяся на практике ситуация при работе с длительностями В отличие от (2.3.1) самовоздействие импульсов будем

описывать уравнением (в бегущих координатах)

которое часто называют нелинейным уравнением Шредингера. Параметр определяется (1.1.12) и учитывает линейную дисперсию среды во втором приближении.

В среде с девиация частоты импульса (2.3.5) изменяется как показано на рис. 2.3в. С другой стороны, с дисперсионным параметром связано относительное запаздывание различных спектральных компонент фазово-модулированного импульса (§ 2.4). В среде с нормальной дисперсией спектрально-ограниченный импульс расплывается быстрее, чем в линейной среде. В нелинейной среде с аномальной дисперсией происходит самосжатие импульса (рис. 2.26). Эти процессы аналогичны соответственно самодефокусировке и самофокусировке двумерного пучка. Нелинейная длина

является временным аналогом длины самофокусировки пучка (2.5.7).

Особый интерес представляет режим самосжатия. При условии дисперсионное расплывание импульса точно компенсируется сжатием. В результате импульс сохраняет свою форму — образуется солитон [59]. Стационарную форму импульса можно найти, полагая в Для амплитуды получим

Это уравнение преобразуется к виду

В случае уравнение (3) имеет решение

где длительность солитона и его амплитуда удовлетворяют соотношению

Плотность энергии солитона

обратно пропорциональна длительности.

Таким образом, в фокусирующей среде с аномальной дисперсией могут формироваться солитоны секанс-гиперболической формы (4). На начальном этапе импульс с плотностью энергии сжимается, а с расплывается (рис. 2.13). Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что солитон (4) является устойчивым образованием по

отношению к малым возмущениям (§ 2.8). Рассмотренный односолитонный режим распространения импульсов вида (4) является частным решением (1); другие солитонные режимы обсуждаются в гл. 5.

В фокусирующей среде с нормальной дисперсией короткие импульсы расплываются, подробно этот вопрос рассматривается в гл. 4. Здесь мы обратим внимание на возможность образования в этом случае так называемых «темных» солитонов [60]. Они имеют вид

и удовлетворяют уравнению (1), причем (ср. с (5))

В соответствии с (7) интенсивность

т. е. «темные» солитоны представляют собой спад в интенсивности излучения.

Рис. 2.13. Изменение формы импульса с расстоянием при плотности энергии солитонный режим

Другая интерпретация решения (7) — ударная волна огибающей с длительностью скачка

Сильные резонансные самовоздействия; «2пи»-импульсы — резонансные солитоны. До сих пор, рассматривая нелинейное распространение коротких световых импульсов, мы считали, что несущая частота находится вдали от резонансных частот среды и поглощение несущественно. Если несущая частота импульса совпадает с одной из резонансных частот то для определения поляризации среды нужно пользоваться уравнениями, учитывающими изменение населенностей уровней. При этом поляризацию в поле мощного импульса невозможно разделить на линейную и нелинейную части.

Волновое уравнение для распространения импульса имеет вид (ср. с (2.2.1))

В случае точного резонанса анализом которого мы ограничимся, поляризация среды

где плотность атомов (молекул), дипольный момент. Функции огибающие квадратурных составляющих

Эволюция этих функций описывается нелинейными уравнениями Блоха [61]:

Здесь, как и выше, огибающая электрического поля

постоянная Планка, разность населенностей для одного атома, шравн — ее равновесное значение, времена продольной и поперечной релаксаций. Согласно (11) под действием светового поля изменяется не только поляризация, но и разность населенностей. Вследствие этого отклик среды на поле оказывается нелинейным.

Пусть длительность импульса Тогда если первоначально атомы находились в основном состоянии то для всех моментов времени При этом система (11) приводится к виду

Решения этих уравнений:

где

Следовательно, поляризация (9) принимает вид

Подставляем (16), (12) в (8), считая медленно меняющейся функцией. Получаем дисперсионное соотношение

и укороченное уравнение

Последним слагаемым в (17) можно пренебречь. Действительно, оно

не превышает величину

где частота Раби. Первый сомножитель представляет собой отношение энергии, запасенной частицами, к энергии поля, он меньше единицы; отношение Без учета указанного слагаемого соотношение (17) становится таким же, как для вакуума:

Наиболее интересные результаты получаются из (18). Выразим через с помощью (15) и подставим в (18). В результате приходим к синус-уравнению Гордона:

Будем искать стационарное решение (20): Тогда получим

Выражение (21) — аналог уравнения физического маятника, где имеет смысл угла отклонения от положения равновесия. Нетрудно убедиться, что решением (21) является функция

Из (15), (23) находим стационарное поле

Видно, что имеет смысл длительности стационарного импульса.

Импульсу (24) соответствует значение «площади» В связи с этим в теории резонансного взаимодействия излучения с веществом солитоны (24) получили название -импульсов. Заметим, что площадь шредингеровских солитонов (4) такому соотношению не удовлетворяет. -импульсы по мере распространения через резонансную среду принимают вид (24). Распространение резонансных световых импульсов без затухания называют явлением самоиндуцированной прозрачности.

Физика просветления среды в поле коротких импульсов обусловлена следующими обстоятельствами. Достаточно мощный импульс уже своим фронтом вызывает инверсию населенностей — среда накапливает энергию. Остальная часть излучения распространяется в возбужденной среде. На хвосте импульса частицы среды отдают энергию. Процесс переизлучения происходит без потери энергии, поскольку длительность меньше времен релаксаций [61, 62].

Согласно (22) скорость распространения резонансных солитонов

Она падает с ростом плотности числа частиц увеличением несущей частоты и длительности Последняя зависимость представляется

вполне очевидной, поскольку переизлучение энергии светового поля приводит к задержке перемещения импульса тем большей, чем больше его длительность.

Решение уравнения (20) для произвольной площади довольно сложно, оно представляется в виде совокупности взаимодействующих импульсов. На рис. 2.14 показано поведение в резонансной среде импульсов с различной начальной длительностью.

Рис. 2.14. Входные (пунктирные линии) и выходные (сплошные) импульсы в резонансной среде при самоиндуцированной прозрачности: а — эксперимент, теория [63]. Кривые соответствуют импульсам с площадью меньше между меньше и приблизительно

Откуда видно, что исходные импульсы с затухают, при принимают стационарный вид (24), а при распадаются на несколько импульсов. Более подробное рассмотрение вопросов взаимодействия коротких световых импульсов с резонансной средой можно найти в [61].