§ 2.3. Фазовая самомодуляция регулярных импульсов

Среда с безынерционной нелинейностью. Мы начнем с рассмотрения простейшей задачи о квазистатическом самовоздействии плоского волнового пакета. В первом приближении линейной теории дисперсии этот процесс в соответствии с (2.2.1), (2.2.7) и (1.1.9) описывается уравнением

где

— нелинейный коэффициент. Уравнение (1) является приближенным в отношении учета нелинейности среды, поскольку при его получении в (2.2.7) оставлено лишь первое слагаемое (нулевое приближение по волновой нестационарности). Решение (1) в бегущей системе координат

или, для действительной амплитуды и фазы

где считаем

Из (4) видно, что огибающая импульса распространяется с групповой скоростью и остается неизменной.

Рис. 2.3. Форма гауссовского импульса приведенные фаза девиация частоты и скорость изменения частоты в зависимости от времени

Напротив, фаза импульса меняется пропорционально пройденному расстоянию и интенсивности возникает фазовая самомодуляция Изменение частоты импульса за счет самовоздействия

Рассмотрим связанное с изменение спектра гауссовского импульса. Введем максимальный фазовый сдвиг

и нелинейную длину — дистанцию, на которой

С ростом фтах диапазон изменения частоты увеличивается. Графики на рис. 2.3 показывают временной ход и скорости ее изменения.

Спектральная плотность импульса, испытавшего определяется соотношением

Хотя (8) внешне выглядит просто, получить точные аналитические результаты, как правило, не удается. На рис. 2.4а представлены

расчеты формы уширенного спектра гауссовского импульса при различных значениях фазы фтах. С ростом фшах в спектре импульса появляется модуляция. Кривые на рис. 2.4а построены для не слишком больших значений

Рис. 2.4. (см. скан) Спектр гауссовского импульса при различных максимальных значениях фазы фтах: а — теория, эксперимент [4]

Для (на расстояниях ширина спектра импульса определяется главным образом амплитуду при этом можно считать медленно меняющейся. Указанное обстоятельство позволяет для расчета (8) воспользоваться методом стационарной фазы. В точке

стационарной фазы

Из рис. 2.3в видно, что при условию (9) можно удовлетворить в моменты времени а при в моменты времени Поэтому спектр будет симметричен относительно частоты .

Максимальное смещение частоты для гауссовского импульса (1.1.25) равно

где определяется (1.1.26). Основная энергия импульса сосредоточена в полосе частот

Запишем результат интегрирования (8) в стационарной точке (9) как

где

Для спектральной плотности (8) получим

Интерференционный член описывает модуляцию спектра, амплитуда и период которой увеличиваются к его краю. Вид уширенного спектра гауссовского импульса, рассчитанного для большого значения , приведен на рис. 2.5. Полное число максимумов в спектре равно целой части от

Рис. 2.5. Спектр гауссовского импульса, испытавшего фазовую самомодуляцию, для

Рассмотренные особенности нелинейного уширения спектра впервые были выявлены Шимицу [6].

Если отвлечься от тонкой структуры уширенного спектра, то для его среднеквадратичной ширины (1.1.21) можно получить выражение [9]

При формула (15) дает значение, практически совпадающее с шириной Лео (11), оцениваемой по максимальному смещению частоты. Авторы [20] рассчитали уширение спектра для случайных сверхкоротких импульсов и получили выражение для среднеквадратичной ширины спектра,

которое аналогично (15).

Обзор работ, выполненных на раннем этапе исследований по уширению спектра при самовоздействии пикосекундных световых импульсов, можно найти в [7]. Отметим, что корректная интерпретация экспериментальных данных была сильно затруднена конкурирующими нелинейными явлениями, прежде всего самофокусировкой.

Впервые сверхкоротких импульсов в отсутствие самофокусировки реализовали авторы [8] в капиллярном волоконном световоде, заполненном Наиболее «чистые» экспериментальные данные по самовоздействию импульсов сточки зрения сопоставления их с изложенной теорией были получены в [4]. Авторы исследовали зависимость формы спектра на выходе волоконного световода от входной энергии импульса (рис. 2.46) и получили хорошее согласие с теорией (11).

Изложенные результаты относятся в симметричных импульсов. Нетрудно убедиться, что асимметрия огибающей импульса приводит к асимметрии спектра.

Среда с релаксирующей нелинейностью. Рассмотренное квазистатическое самовоздействие справедливо, если длительность импульса намного превышает время установления нелинейности Такая ситуация в волоконных световодах сохраняется вплоть до Напротив, если используется высокочастотный эффект Керра в жидкости учет конечной скорости нелинейного отклика становится существенным уже в пикосекундном диапазоне длительностей. В этом случае для расчета нужно пользоваться (2.2.9). Ограничиваясь по-прежнему нулевым приближением по волновой нестационарности, для описания процесса самовоздействия получаем уравнение

(ср. с (1)). Согласно (17) и (2.2.9) фазовая добавка, обусловленная самовоздействием, равна

В предельном случае

и изменение частоты определяетсявыражением

Смещение частоты по всему импульсу отрицательно Поэтому точки стационарной фазы (9) существуют лишь для отрицательных частот .

Рис. 2.6 Вид уширенного спектра для гауссовского импульса с и временем установления нелинейности для [10]

А это означает, что в предельном случае «медленной нелинейности» спектр импульса уширяется только в низкочастотную, стоксову область.

Для гауссовского импульса максимальные изменения фазы и частоты

Оба параметра обратно пропорциональны времени Вид уширенного спектра гауссовского импульса для конечного значения изображен на рис. 2.6, спектральное распределение существенно несимметрично относительно центральной частоты исходного импульса.