ГЛАВА 1. КОРОТКИЕ СВЕТОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

Длительности световых импульсов, генерируемых современными лазерными системами, могут составлять всего несколько периодов световых колебаний. Линейное распространение таких импульсов даже в слабо диспергирующей; среде (вдали от резонансов) уже на весьма коротких расстояниях кардинально отличается от привычного для оптики распространения волновых пакетов неизменной формы с групповой скоростью. Дисперсия среды может чрезвычайно сильно изменить форму коротких импульсов. При специальном подборе начальной фазовой модуляции импульса и знака дисперсии появляются возможности целенаправленного управления его формой, сильного сжатия импульса — «фокусировки» во времени. Явления, возникающие при распространении коротких световых импульсов в диспергирующей среде, во многом сходны с дифракционным распространением и преобразованием узких световых пучков. В ряде случаев между этими разнородными на первый взгляд явлениями можно проследить точную пространственно-временную аналогию. Много практически важных задач связано с прохождением коротких световых импульсов через оптические приборы, взаимовлиянием дифракционных и дисперсионных эффектов. Большой их круг является предметом фурье-оптики волновых пакетов.

Современный прогресс экспериментальной оптики волновых пакетов, распространяющихся в диспергирующих средах, целиком обязан достижениям, лазерной физики, связанным с разработкой техники синхронизации мод лазеров, методов быстрой фазовой модуляции света, методов динамической интерферометрии и интерферометрии интенсивности. Вместе с тем следует сказать, что дисперсионные эффекты, сопровождающие распространение коротких волновых пакетов, в принципе, могут быть исследованы и с помощью традиционных нелазерных источников света, являющихся по своей сути генераторами оптического шума с временем корреляции пико- и фемтосекундного масштаба.

§ 1.1. Картина линейного распространения коротких световых импульсов

Оптика волновых пакетов; исторические замечания. Круг задач, связанных с распространением волновых пакетов в линейной диспергирующей среде (дисперсия может быть обусловлена

как резонансами в однородной среде, так и искусственно созданными неоднородностями), относится, разумеется, к классической линейной оптике. Проблемы, связанные с распространением световых импульсов, рассматривали еще Рэлей [1], Зоммерфельд [2] и Бриллюэн [3]. В 30-е годы Мандельштам [4] дал ясную картину дифракции светового импульса на решетке. В последующие годы наибольший интерес привлекали дисперсионное расплывание пакета (детальное обсуждение можно найти в монографии Гинзбурга [5]), возникновение предвестников при взаимодействии короткого импульса с диспергирующей средой (о современном состоянии этой классической проблемы Однако экспериментальная оптика вплоть до конца 60-х годов не смогла внести какой-либо вклад в изучение перечисленных задач. Импульсные оптические источники, включая и первые импульсные лазеры, были, по существу, генераторами относительно длинных вспышек оптического шума, длительность которых с намного превышала время корреляции тк излучения следовательно, ширина спектра излучения

Естественно, что в этих условиях не могло быть речи об исследовании преобразования огибающей и фазы в процессе распространения импульса и об управлении этими параметрами во времени. Поэтому экспериментальный материал, например, по предвестникам был получен в микроволновом диапазоне [21]. Напротив, экспериментальная техника формирования и преобразования световых пучков прогрессировали и до создания лазеров.

Еще в прошлом веке оптики научились с высокой точностью управлять фазой светового излучения в пространстве — на этом основаны разнообразные дифракционные приборы, методы фокусировки пучков, преобразования и фильтрации изображений. Теоретической основой этих методов стала детально разработанная фурье-оптика волновых пучков [7].

В последние годы техника формирования световых импульсов бурно прогрессировала; оптика получила в свое распоряжение эффективные методы управления огибающей и фазой световых колебаний в пико- и фемтосекундном масштабе времени. Сейчас реальностью стали так называемые спектрально-ограниченные импульсы длительностью до Такие импульсы, ширина спектра которых определяется только формой огибающей и для которых прямой аналог дифракционно-ограниченных световых пучков. Вместе с тем разработаны и методы получения быстрой регулярной фазовой модуляции коротких световых импульсов; в их основе лежит использование малоинерционного «нерезонансного» нелинейного отклика конденсированных сред [8, 9], развивалась и техника измерений огибающей и фазы коротких лазерных импульсов (§ 6.8).

Дисперсионные эффекты, подобно дифракции для волновых пучков, могут быть положены в основу разнообразных схем компрессии (фокусировки во времени) и преобразования формы коротких импульсов. Поэтому в последние годы бурное развитие получила фурье-оптика волновых пакетов, распространяющихся в диспергирующей среде. По существу, речь идет о задачах того же типа, что и задачи

формирования и дифракции световых пучков (в квазиоптическом приближении они описываются параболическим уравнением, введенным в теорию волн Леонтовичем [18]). В общей постановке вопросы фурье-оптики волновых пакетов обсуждаются в обзоре Вайнштейна [10] и книге [11].

В настоящей главе дано изложение линейной оптики световых импульсов в диспергирующих средах с акцентом на новые прикладные задачи, связанные прежде всего с компрессией и формированием оптических импульсов заданной формы.

Методы описания. Распространение волнового пакета в линейной изотропной диспергирующей среде описывается для напряженности электрического поля волновым уравнением

где

— электрическая индукция для случая однородной немагнитной среды без пространственной дисперсии. В структуре выражения (2) отображен принцип причинности: индукция в данный момент времени в заданном сечении среды может зависеть лишь от предшествующих моментов времени. В рассматриваемых нами задачах характер поляризации волны, как правило, не играет принципиальной роли. Поэтому волна предполагается линейно поляризованной и для простоты описывается скалярным уравнением (1).

Разлагая поле в фурье-спектр,

(направление оси совпадает с направлением вектора из (1), (2) получаем дисперсионное соотношение

где

— диэлектрическая проницаемость среды на частоте Согласно (3), (4) фурье-компонента поля в среде

Видно, что дисперсия среды влияет лишь на фазу фурье-компонент-импульса, если действительная величина (поглощение несущественно). В спектральной же плотности фазы пропадают, и следовательно, форма спектра импульса в линейной

непоглощающей среде сохраняется:

Зная зависимость и пользуясь (3), в принципе, можно рассчитать поле на любом расстоянии в диспергирующей среде. Однако точные аналитические результаты, как правило, удается получить лишь в сравнительно простых случаях. Поэтому широкое применение, даже при анализе линейного распространения волновых пакетов, находят приближенные методы, базирующиеся на упрощении исходного уравнения (1).

Эффективным методом получения приближенных уравнений, описывающих распространение короткого волнового пакета, является метод медленно меняющихся амплитуд [6, 18]. В его основе лежит естественное предположение о медленности изменения комплексной амплитуды импульса на масштабах среднего периода колебаний средняя частота импульса) и средней длины волны Такой подход справедлив вплоть до длительностей импульсов Метод адекватен, таким образом, большинству задач линейной (и, как мы убедимся далее, нелинейной) оптики фемтосекундных импульсов. Вместе с тем в современной лазерной физике появился и такой необычный объект как лазерный импульс длительностью в один период [84]. Естественно, в этом предельном случае приближения, основанные на предположении о медленности изменения амплитуды, в принципе непригодны.

Согласно методу решение интегродифференциальных уравнений (1), (2) ищем в виде

где фазовая скорость. Подставим (8) в (2). Учитывая медленность изменения во времени амплитуды разложим ее в ряд Тейлора по В результате

Отбрасывание в (9) производных эквивалентно пренебрежению дисперсией среды (нулевое приближение теории дисперсии). В первом приближении оставляют лишь производную пренебрегая производными более высокого порядка. Второму приближению теории дисперсии соответствует учет Другими словами, в такой классификации порядок учтенной производной диэлектрической проницаемости определяет порядок приближения.

Подстановка (8) и (9) в (1) приводит к следующему уравнению для амплитуды

где

— групповая скорость. Параметр характеризует дисперсию групповой скорости в первом приближении:

параметр во втором приближении, причем

Обычно при рассмотрении дисперсии в поле непрерывного излучения говорят о нормальной дисперсии, если и аномальной дисперсии, если В задачах распространения коротких волновых пакетов главный интерес представляет не дисперсия фазовой скорости (она, как известно, определяет поведение квазимонохроматической волны), а дисперсия групповой скорости. Поэтому, говоря о нормальной или аномальной дисперсии, мы будем иметь в виду знак дисперсии групповой скорости. Дисперсия считается нормальной при и аномальной при Определения типа дисперсии по фазовым и групповым скоростям, вообще говоря, не совпадают. Частотные зависимости фазовой и групповой скоростей вблизи резонанса показаны на рис. 1.1. Поведение дисперсии групповой скорости вдали от резонанса характеризуют графики на рис. 1.4, где длина (см. (1.3.2)).

Рис. 1.1. Дисперсия фазовой и групповой скоростей вблизи уединенного однородно уширенного резонанса

Уравнение (10) — точное в смысле учета дисперсионных свойств линейной среды. Вместе с тем во многих случаях для описания распространения импульсов пико- и фемтосекундной длительности достаточным оказывается второе приближение теории дисперсии. В этом приближении уравнение, получающееся из (10) отбрасыванием слагаемых под знаком суммы, можно упростить. Переходя к бегущей системе координат легко показать [14—16], что оператор в прямых скобках дает величины более высокого порядка малости, чем остальные производные. В результате получаем

решение имеет вид

где

Решение (15) удовлетворяет граничному условию при

Пространственно-временная аналогия. Уравнение (14) аналогично параболическому уравнению

поперечный лапласиан), широко используемому для описания распространения световых пучков вида

Уравнение (16) соответствует так называемому квазиоптическому приближению, справедливому, когда изменения комплексной амплитуды поперек направления распространения происходят быстрее, чем вдоль. Быстрые изменения поля вдоль направления распространения учитываются экспоненциальным множителем.

В рамках приближений, в которых получены уравнения (14) и (16), между поведением волновых пакетов и волновых пучков можно проследить чрезвычайно полезную пространственно-временную аналогию [14—16]. Из формального сравнения (14) и (16) прежде всего видно, что времени в волновых пакетах соответствует поперечная координата в волновых пучках, а дисперсии групповой скорости параметр С физической точки зрения дисперсионное расплывание волнового пакета, связанное с во многом аналогично дифракционному расширению волнового пучка. Поэтому часто говорят о квазиоптическом приближении в описании волновых пакетов.

Модели световых импульсов. Для описания импульсов, наряду с комплексной амплитудой пользуются также действительными огибающей и фазой

Обратимся сначала к детерминированным импульсам. В общем случае длительность импульса удобно определять как среднеквадратичную:

где

— энергия импульса. Подобным образом в общем виде определяется ширина спектра импульса:

где

— спектральная плотность импульса. Длительность импульса и ширина спектра связаны соотношением

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных световых импульсов.

Спектрально-ограниченный импульс. Речь идет об импульсе, длительность которого полностью определяется обратным значением ширины его спектра. В этом случае отсутствует фазовая (частотная) модуляция Для спектрально-ограниченных импульсов постоянная ее значение зависит от формы огибающей.

Чаще всего рассматривают импульсы с огибающими вида

Для гауссовского импульса (25) величина . Во всех других случаях так, например, для импульса Для гладких импульсов можно и не прибегать к интегральным определениям длительностей. В случае гауссовского импульса длительность по уровню от максимальной интенсивности равна Значение связано с длительностью по полувысоте соотношением Имея в виду приведенные соотношения, величину будем называть в дальнейшем просто длительностью импульса. Для гауссовского импульса

где ширины спектров по уровням, соответствующим различным определениям длительности.

Фазово-модулированный импульс. Фаза может быть сложной детерминированной либо случайной функцией. Ширина спектра фазо-вомодулированного импульса может значительно превышать ширину спектра спектрально-ограниченного импульса:

В дальнейшем особое значение будут иметь импульсы, у которых фаза изменяется со временем по квадратичному закону

Тогда изменение мгновенной частоты линейно по

где характеризует скорость изменения частоты.

Для частотной модуляции (ЧМ) вида (28) при гауссовской форме огибающей (25) ширина спектра импульса

В последнем соотношении учтено (26). Частотно-модулированные световые импульсы часто называют чирпированными (от английского слова — chirp); ЧМ вида (28) соответствует линейному чирпу.

Супергауссовский импульс. Наряду с (24) и (25) для анализа распространения и преобразования сверхкоротких импульсов используются и другие модели. Среди них следует выделить близкий по форме к прямоугольному супергауссовский импульс

где . Импульс (30) характерен для излучения полупроводниковых лазеров [52]. С ростом параметра его форма приближается к прямоугольной, однако длительность по уровню не зависит от Изменение частоты супергауссовского импульса,

наибольшее на фронте и хвосте. Среднеквадратичная длительность

Для гауссовского импульса а для супергауссовского при параметр гамма-функция.

Импульс с шумовым заполнением. Нелазерные источники, а в ряде случаев и многомодовые лазеры, генерируют, по существу, вспышки оптического шума, комплексную амплитуду которых можно записать в виде

Функция соответствует регулярному импульсу, который может быть либо спектрально-ограниченным, либо фазово-модулированным; случайный процесс, в общем виде комплексная функция. Случайный процесс в ряде случаев можно считать стационарным с корреляционной функцией

где дисперсия шума.

Если речь идет о «вспышках» многомодового лазерного излучения с несинхронизованными модами, процесс записывается в виде [13, 16]

где номер моды, амплитуда моды, частота межмодовых

биений. Фазы мод статистически независимы с равномерным распределением на интервале При достаточно большом числе мод N статистика процесса (35) с дискретным спектром близка к гауссовской [161.