§ 3.2. Удвоение частоты сверхкоротких импульсов

Нестационарные эффекты при параметрических взаимодействиях сверхкоротких импульсов в среде с квадратичной нелинейностью связаны прежде всего с линейной дисперсией. Как уже указывалось, вплоть до длительностей импульсов с обусловленный электронной нелинейностью квадратичный по полю отклик можно считать практически безынерционным. Тем не менее возникающие здесь теоретические проблемы оказываются весьма разнообразными и сложными. Даже укороченные уравнения, описывающие трехчастотные взаимодействия волн, не имеют точных решений. Поэтому на первый план выступают различные методы вторичного упрощения укороченных уравнений.

В этом параграфе мы обсудим задачи, а также методы их решения на примере эталонной для нелинейной оптики задачи о генерации второй оптической гармоники (ГВГ). Последовательно будут рассмотрены нестационарные эффекты в первом приближении теории дисперсии

аналитические результаты здесь удается получить не только для случая слабого, но и сильного энергообмена), нестационарные эффекты, обусловленные расплыванием волновых пакетов (второе приближение теории дисперсии), и наконец, эффекты волновой нестационарности (нелинейной связи); для самовоздействия они были рассмотрены в. § 2.4. Поскольку нас интересуют принципиальные вопросы нестационарных нелинейных взаимодействий, для простоты мы будем считать взаимодействующие волны плоскими и не будем учитывать поляризационные эффекты и потери.

Первое приближение теории дисперсии. Пусть на среду с квадратичной оптической нелинейностью падает волновой пакет

Поле в среде представляем в виде

Подставляя (2) в (3.1.2), в первом приближении теории дисперсии получаем укороченные уравнения

Здесь

— коэффициенты нелинейной связи волн, групповые скорости основной волны и второй гармоники соответственно,

Групповой синхронизм; квазистатический режим. Система (3), (4) имеет точное решение для случая равенства групповых скоростей, (группового синхронизма). Особенно просто оно выглядит когда одновременно выполняется и условие фазового синхронизма Вводя вещественные амплитуды и фазы получаем

В приблиокении заданного поля, когда можно считать неизменными на всей длине взаимодействия (преобразование энергии основной волны в волну второй гармоники мало), При этом происходит укорочение импульса гармоники. Для гауссовского импульса основного излучения длительность импульса С ростом эффективности преобразования

длительность возрастает, приближаясь к Согласно при удвоении частоты импульса с линейной скорость изменения частоты ВГ удваивается,

Эффекты группового запаздывания; нестационарный режим. В действительности условия группового синхронизма, как правило, не выполняются, Групповое запаздывание, возникающее за счет расстройки групповых скоростей, решающим образом определяет картину нелинейного взаимодействия. Расстройка групповых скоростей, или групповая расстройка,

Влияние групповой расстройки на эффективность ГВГ зависит, очевидно, от соотношения между длиной взаимодействия и длиной группового запаздывания

где ширина спектра импульса основного излучения; для спектрально-ограниченного импульса

Если удвоение частоты коротких импульсов происходит практически так же, как и в условиях группового синхронизма. Такой режим будем называть квазистатическим. режим удвоения частоты существенно нестационарный. В заданном поле накачки решение уравнений (3), (4) для этого случая 2

В соответствии с (9) спектральная плотность гармоники

где фурье-спектр комплексной амплитуды (рис. 3.1). Выражение (106) описывает спектральную плотность ВГ в квазистатическом режиме генерации. Соотношения (10) справедливы для произвольного вида модуляций огибающей и фазы исходного импульса. При ширина спектра гармоники меньше ширины спектра основного излучения. Это означает, что нестационарное удвоение частоты сопровождается сильным растяжением импульса гармоники При удвоении частоты спектрально-ограниченного импульса длительность ВГ фактически не зависит от длительности исходного импульса:

Следует заметить, что для фазово-модулированных импульсов эффекты нестационарности проявляются на длинах но

Для широко используемых в нелинейной оптике кристаллов дигидрофосфата калия (KDP) и ниобата лития в случае возбуждения необыкновенной волны ВГ обыкновенной основной волной расстройка равна соответственно с/см. Для кристалла KDP при расстройка с/см. Для оценки групповой длины возьмем в качестве примера длительность основного импульса тогда для указанных значений получаем Для удвоения частоты пико- и фемтосекундных импульсов весьма эффективен кристалл имеющий в случае групповую расстройку с/см [57].

Спектр второй гармоники имеет максимум на частоте (рис. 3.1), а его ширина В нестационарном режиме имеется возможность плавной перестройки средней частоты гармоники при варьировании фазовой расстройки Изменение спектра и формы импульса в режиме сильного энергообмена является более сложным; одно из возможных приближений в решении этой задачи: указано в [1] — предполагается постоянство фаз взаимодействующих волн (рис. 3.2).

Рис. 3.1. Спектр второй гармоники, возбуждаемой в нестационарном режиме гауссовскнм импульсом, на различных относительных длинах: Для кривых

Рис. 3.2. Формы импульсов основного излучения (сплошные линнн) и второй гармоники (штриховые) для и различных длин: Импульсы основного излучения и второй гармоники деформируются по мере прохождения через нелинейную среду, Растяжение импульса ВГ сопровождается сужением основного

Нестационарное удвоение частоты фазово-модулированного импульса. В соответствии с (10) оптический удвоитель частоты при длине кристалла можно рассматривать как узкополосный фильтр с

полосой Поэтому, как и в линейной оптике (§ 1.5), ФМ импульс, проходя через такой фильтр, укорачивается. Действительно, пусть амплитуда основного излучения

тогда при из (9) для интенсивности ВГ получаем

Согласно (12) длительность импульса уменьшается как [1, 4].

Заметим, что в силу отмеченной ранее пространственно-временной аналогии обсуждаемые эффекты, возникающие при удвоении частоты коротких волновых пакетов, имеют наглядную аналогию в теории удвоения частоты ограниченных световых пучков. Эта аналогия детально прослежена в [1]. Эффектам групповой расстройки соответствуют эффекты, связанные со сносом пучков вследствие анизотропии среды.

Учет обратной реакции второй гармоники на фазу основного излучения, приближение заданной интенсивности. В режиме больших КПД преобразования в ВГ анализ, основанный только на уравнении (4), некорректен — нужен учет обратной реакции второй гармоники на основное излучение. Полное аналитическое решение такой задачи не представляется возможным. Вместе с тем многие особенности процесса удвоения частоты в условиях обратного воздействия удается понять, учитывая лишь реакцию ВГ на фазу основной волны. Поскольку фазовые эффекты являются определяющими, это приближение, называемое приближением заданной интенсивности [5], хорошо работает вплоть до КПД удвоения, достигающего

Обратимся сначала к задаче, имеющей строгое решение, что позволит понять суть приближения заданной интенсивности и указать область его применимости. Из (3), (4) для квазистатического режима генерации получаем уравнение второго порядка для амплитуды

с граничными условиями

При замене в (13) интенсивности на входное значение приходим к уравнению в приближении заданной интенсивности [5]. Речь идет об удвоении частоты при фазовой расстройке но групповая расстройка Уравнение (13) имеет решение

где

Сравнение (15) с точным решением позволяет найти область справедливости использованного приближения.

Из (3), пользуясь (15), находим закон изменения фазы основной волны:

Добавка к фазе и, следовательно, к фазовой скорости основной волны при зависит от ее интенсивности; иначе говоря, возникает своеобразное самовоздействие. Нелинейный набег фазы при равен

Из сравнения (17) с (2.3.4) следует, что эквивалентная добавка к показателю преломления среды

Отсюда видно, что нелинейная среда для основной волны при обратной реакции ВГ в случае обладает фокусирующими свойствами, а при дефокусирующими. Следовательно, процесс удвоения частоты интенсивных световых пучков будет сопровождаться самофокусировкой или самодефокусировкой основного пучка, т. е. в средах с квадратичной нелинейностью могут наблюдаться самовоздействия, аналогичные таковым для с кубичной нелинейностью.

Проанализируем теперь нестационарное удвоение частоты в приближении заданной интенсивности. Комплексную амплитуду основной волны возьмем в виде (11). Переходя в (3), (4) к новым координатам

получаем уравнение

с граничными условиями

где обозначено

Решение (20) методом Римана дает

где функция Бесселя от действительного аргумента,

Если нестационарность процесса обусловлена фазовой модуляцией основного импульса то в соответствии с (21) спектральная плотность гармоники

Спектр определяется (106).

Из сравнения (22) с (10а) следует, что спектр гармоники в сильном поле зависит от интенсивности основного излучения. В этом случае полоса нелинейного фильтра

т. е. обратная реакция ВГ приводит к сужению ее спектра. Экспериментально этот эффект наблюдался в [7], где было зарегистрировано сужение и изменение спектра в поперечном сечении ВГ, возбуждаемой гауссовским пучком.

Умножение частоты ФМ импульсов; численные результаты. При больших коэффициентах преобразования нестационарный режим ГВГ фазово-модулированными импульсами аналитически рассмотреть не удается.

Рис. 3.3. Зависимость энергетического коэффициента преобразования во вторую гармонику от приведенной длины при различной фазовой модуляции:

Численное решение уравнений (3), (4) для этого случая получено в [8], результаты приведены на рис. 3.3. Видно, что ФМ препятствует полной перекачке основного излучения во ВГ. За счет фазовых соотношений между взаимодействующими волнами имеет место осциллирующая зависимость эффективности преобразования от длины взаимодействия.

Все перечисленные выше результаты относятся к удвоению частоты плоских волн. Разумеется, сравнение их с экспериментальными данными требует учета поперечного распределения. Мы уже ссылались

на работу [7], в которой наблюдалось изменение спектра связанное с неоднородным распределением интенсивности в поперечном сечении пучка. Большой практический интерес представляет задача фокусированными сверхкороткими импульсами. Ее подробный анализ дан в [9].

Сильный энергообмен при больших групповых расстройках; генерация «гигантских» импульсов второй гармоники. В этом разделе на примере ГВГ мы кратко обсудим принципиальную возможность получения за счет нелинейных взаимодействий «гигантских» импульсов, т. е. импульсов, максимальная мощность которых превышает мощность накачки. Физика явления достаточно наглядна.

Рис. 3.4. Динамика формирования импульса второй гармоники амплитуды по мере распространения в поле квазннепрерывного основного излучения амплитуды форма импульса ВГ на входе, 2 — после прохождения передним фронтом расстояния стационарный импульс формирующийся при [1]

Если, например, короткий импульс на частоте взаимодействует с гораздо более длинным импульсом частоты (они могут формироваться независимо), то в условиях сильного энергообмена и большой групповой расстройки импульс гармоники, распространяющийся со скоростью последовательно отбирает энергию от разных частей импульса накачки. При этом пиковая мощность ВГ может существенно превысить пиковую мощность на частоте Теория этого эффекта была развита впервые в [1]. Полагая на входе нелинейной среды

из системы (3), (4) получим

Пусть в момент в среду поступает прямоугольный импульс гармоники (рис. 3.4). Согласно (24) внутри среды форма импульса описывается выражением

На фронте или амплитуда испытывает скачок, равный

Сказанное иллюстрируется на рис. 3.4. Ширина пика формирующегося вблизи фронта, согласно (25) равна

Уменьшение длины (увеличение интенсивности основного излучения) приводит к уменьшению длительности пика. Если групповая расстройка с/см, длина см, то Фронты такой длительности могут быть сформированы в поле пикосекундных импульсов основного излучения.

Экспериментально эффекты подобного рода легче наблюдать для невырожденных взаимодействий. Хорошо известным примером является, в частности, генерация «гигантских» импульсов вынужденного рассеяния при встречных взаимодействиях с квазинепрерывной накачкой [37].

Дисперсионное расплывание импульсов; оптимальная длительность при умножении частоты. Если эффекты групповой расстройки несущественны, влияние дисперсии на эффективность ГВГ может быть связано с дисперсионным расплыванием импульсов.

Рис. 3.5. Зависимость относительной энергии второй гармоники от обратной относительной длительности импульса основного излучения при и

Поэтому ясно, что, когда речь идет об умножении частоты пико- и фемтосекундных импульсов, правомерен вопрос об их оптимальной длительности, приводящей к получению максимального КПД преобразования. Мы рассчитаем оптимальную длительность в приближении заданного поля основной волны.

В этом случае во втором приближении теории дисперсии процесс удвоения частоты описывается уравнением

Здесь дисперсионный параметр на частоте Амплитуда основного излучения в случае расплывающегося за счет дисперсии гауссовского импульса определяется (1.3.2). Решая (27), для энергии ВГ получаем

где

На длине взаимодействия энергия

Видно, что эффективность преобразования во ВГ в поле расплывающихся импульсов меньше. Зависимость энергии ВГ от длительности основного излучения показана на рис. 3.5. Для кривой 1, соответствующей энергия насыщения

достигается практически при

Кривая 2 рис. 3.5 построена для условий здесь оптимальная длительность

а максимальная энергия

Несмотря на сильное различие между дисперсионными параметрами и выражения для оптимальных длительностей (31), (32) отличаются только численным коэффициентом. Поскольку в средах с нормальной дисперсией условие не выполнимо, реальной ситуации лучше соответствует (31).

Эффекты дисперсии нелинейной связи. До сих пор мы рассматривали нестационарные процессы обусловленные дисперсией линейной восприимчивости среды. Теперь обсудим кратко проявление волновой нестационарности. Для этого уравнения (3) и (4) в первом порядке по (I (2.2.8) следует дополнить слагаемыми

соответственно. Вклад волновой нестационарности (дисперсии нелинейной связи) в процесс ГВГ пропорционален Обобщенные указанным образом уравнения (3), (4) не поддаются точному аналитическому решению; численный расчет при одновременном выполнении фазового и группового синхронизмов проведен в [11]. Основные результаты заключаются в следующем. Максимальная эффективность преобразования во вторую гармонику достигается на длине

В области коэффициент преобразования осциллирует около некоторого среднего значения, заметно меньшего Таким образом, дисперсия нелинейной связи может играть роль дополнительного фактора, ограничивающего эффективность удвоителей частоты сверхкоротких импульсов.