§ 1.4. Фурье-оптика волновых пакетов

Детально разработанная фурье-оптика дифрагирующих световых пучков базируется на простых и наглядных идеях, сформулированных, по существу, еще в прошлом веке. Теория дифракции Фраунгофера основывается на интегральном соотношении, показывающем, что угловой спектр поля, регистрируемый в дальнем поле или в фокальной плоскости линзы, определяется преобразованием Фурье от распределения комплексной амплитуды поля на входной апертуре. Многие практические успехи фурье-оптики основаны на продемонстрированных Аббе возможностях влиять на изображение, изменяя амплитуды и фазы спектральных компонент в фокальной плоскости. Классические примеры этой техники — метод темного поля и метод фазового контраста.

На аналогичных преобразованиях световых имяульсов, происходящих в диспергирующих средах, основана фурье-оптика волновых пакетов. Здесь особый интерес представляют новые методы преобразования коротких импульсов в искусственных диспергирующих средах. Сильно диспергирующие системы, представляющие собой комбинации дифракционных решеток и призм, позволяют развернуть частотный фурье-спектр в пространстве и управлять амплитудами и фазами компонент частотного спектра — совершенно аналогично тому, как это делал Аббе с фурье-компонентами углового спектра.

Мы начнем с рассмотрения распространения в диспергирующей среде ФМ импульсов — задачи важной как методически, так и с точки зрения приложений.

Распространение фазово-модулированных гауссовских импульсов; аберрации. Пусть на входе диспергирующей среды импульс имеет

Проанализируем его эволюцию в рамках второго приближения теории дисперсии. Тогда в соответствии с (1.1.15) комплексная амплитуда импульса в среде

где

Огибающая и фаза импульса имеют вид

где введена функция

Наличие начальной фазовой модуляции импульса может привести к качественному изменению его поведения в диспергирующей среде по сравнению с немодулированным импульсом. Длительность импульса в среде

Если то ФМ импульс расплывается быстрее, чем немодулированный. В случае импульс сначала сжимается, а затем расширяется (ср. кривые 2 и 3 на рис. 1.3а). Минимальная длительность импульса

достигается на расстоянии

Скорость изменения частоты

иллюстрируется графиками на рис. 1.36. В области максимального сжатия импульса скорость частотной модуляции длительность же определяется полной шириной спектра. Иначе говоря, при оптимальном сжатии импульс становится спектрально-ограниченным. Переход импульса через область оптимального сжатия сопровождается изменением знака (кривая 3 рис. 1.36).

Аберрации. Самым интересным эффектом, возникающим при распространении импульсов в диспергирующих средах, является,

несомненно, их сжатие — фокусировка во времени. Наиболее эффективно сжатие происходит в условиях, когда импульс с квадратичной по времени ФМ распространяется в среде с квадратичной дисперсией. Эта ситуация совершенно аналогична безаберрационной фокусировке световых пучков линзой. Как известно, эту идеальную картину мешают осуществить различные аберрации. Точно так же обстоит дело и при фокусировке во времени световых импульсов. Кубичная и более высокого порядка дисперсии среды, отличие ФМ входного импульса от квадратичной приводят к временным аберрациям.

Начнем с анализа эффектов, возникающих в третьем приближении теории дисперсии. В соответствии с (1.3.8) и (1) среднеквадратичная длительность импульса (см. также [201)

Из (10) видно, что в средах, обладающих только кубичной дисперсией импульсы всегда расплываются независимо от знака Это обстоятельство существенно отличает поведение ФМ импульсов в средах с квадратичной дисперсией При наличии квадратичной и кубичной дисперсий длина на которой происходит сжатие ФМ импульса при определяется выражением

Коэффициент компрессии импульса

Из (11) и (12) следует, что кубичная дисперсия среды приводит к уменьшению длины и коэффициента компрессии С ростом эффективность компрессии ФМ импульсов падает.

Рассмотрим теперь эффекты, обусловленные неквадрэтичностью исходной фазовой модуляции:

Для такого импульса среднеквадратичная ширина спектра

не зависит от знаков

Во втором приближении теории дисперсии длительность импульса (13) изменяется согласно выражению

Отсюда видно, что квадратичный член в частотной модуляции приводит к уменьшению эффективной дисперсионной длины. Вследствие этого минимальная длительность импульса достигается на длинах

меньших по сравнению с длиной (8). Максимальный коэффициент сжатия импульса

Кубичная добавка к фазе ухудшает, таким образом, условия компрессии. Следует также заметить, что в отсутствие линейной импульс расплывается (см. (15)).

Зависимость коэффициента компрессии от длительности импульса немонотонная: при длительности величина достигает максимального значения

В соответствии с (14), (17) имеем

Эта длительность больше, чем для спектрально-ограниченного импульса Следовательно, в плоскости его максимального сжатия ФМ сохраняется.

На рис. 1.6 приведены осциллограммы, иллюстрирующие деформацию огибающей коротких импульсов, распространяющихся вблизи узких резонансов в атомных парах [22]. В эксперименте использовались хорошо сформированные короткие импульсы, перестраиваемые по частоте (рис. 1.6а). Видно, что при приближении частоты импульса к резонансной роль дисперсии среды возрастает: при длительностях с отчетливо проявляются эффекты не только второго, но и высших порядков. На рис. 1.6б, в амплитуды наибольших пиков в выходных импульсах соответственно в 1,3 и 1,5 раза больше, чем амплитуда входного импульса [22].

Компрессия ФМ световых импульсов и фокусировка световых пучков. Из приведенного выше анализа следует возможность сжатия (компрессии) ФМ импульсов в диспергирующей среде. Это обстоятельство находит важные практические приложения. Сейчас компрессия ФМ импульсов стала одним из наиболее универсальных методов получения фемтосекундных импульсов в видимом, УФ и ИК диапазонах. Поэтому мы более детально обсудим физику компрессии, уделяя особое внимание аналогии и различиям этого процесса с пространственной фокусировкой световых пучков.

Основные идеи компрессии световых импульсов в оптике были заимствованы из радиолокации [23, 24]. В первых экспериментах по компрессии [25] сравнительно длинные импульсы излучения лазера не) модулировались по фазе с помощью электрооптического модулятора. ФМ импульсы сжимались диспергирующим устройством, в качестве которого использовался интерферометр Жира — Турнуа [261 (см. также § 1.5); было достигнуто почти -кратное сжатие. Поскольку возможности получения предельно коротких световых импульсов в значительной мере определяются деталями системы компрессии, ниже мы проанализируем основные этапы компрессии на временном и спектральном языках.

Рассмотрим вновь гауссовский импульс (1) с квадратичной ФМ полная фаза импульса его мгновенная частота

Наглядные качественные представления о физике компрессии такого светового импульса можно дать на временном языке [27]. Искомые результаты нами получены ранее (формулы (2), и (8)).

Рис. 1.6. (см. скан) Преобразование огибающей коротких световых импульсов, распространяющихся в сильно диспергирующей среде [22]; для входных импульсов (слева) масштаб 10 не на деление, для выходных (справа) — 5 не. Импульсы, генерируемые перестраиваемым лазером, имели несущую частоту близкую к частоте резонанса линии в парах Фаза модулировалась по гармоническому закону с частотой и амплитудой максимальное изменение частоты импульс без

Чтобы дать их физическую интерпретацию, представим реальный ЧМ импульс в виде последовательности импульсов с постоянной в их пределах, но изменяющейся от импульса к импульсу частотой (это эквивалентно замене линейной зависимости на ступенчатую). Легко видеть, что если, например, условием компрессии будет в среде с нормальной дисперсией групповой скорости низшие частоты располагающиеся на хвосте импульса, догоняют высокие частоты заполняющие его фронт.

Нетрудно найти и длину «фокусировки во времени» (длину компрессии На этой длине время группового запаздывания крайних частот импульса

В данном случае поскольку Следовательно, Минимальная длительность сжатого импульса (см. (18)) . На рис. 1.7 приведены графики, характеризующие связь вида частотной модуляции и дисперсии среды, обеспечивающей компрессию импульсов.

Рис. 1.7. Графики изменения мгновенной частоты импульса и временной задержки в среде с нормальной (а) и аномальной (б) дисперсией для компрессии световых импульсов

В дальнейшем для конкретных расчетов мы будем широко пользоваться спектральным описанием компрессии. Здесь анализ базируется на последовательном разложении импульсов в фурье-спектр и комплексных коэффициентах передачи диспергирующих устройств. Заметим, что проведенное выше рассмотрение основано в известном смысле на «недоразложенном» спектре.

Фурье-преобразование комплексной амплитуды (1) имеет вид

где

В диспергирующей среде фурье-спектр импульса

где частотная передаточная функция или просто коэффициент передачи. Пример коэффициента передачи для непоглощающей среды, описываемой во втором приближении теории дисперсии, следует из (1.1.15):

Запись в виде (24) соответствует бегущей системе координат.

При каких «спектральных» условиях диспергирующая среда будет действовать как компрессор? Другими словами, как надо сформулировать требования, аналогичные (20), на спектральном языке?

Для рассматриваемой нами модели гауссовского ФМ импульса (1) ответ очевиден. Прошедший через диспергирующую среду ФМ импульс будет иметь максимальную амплитуду и, следовательно, минимальную длительность при условии, что все его спектральные компоненты точно сфазированы:

Нетрудно убедиться, что из этого соотношения следует формула (8) для длины компрессии Выполняя обратное фурье-преобразование, из (23) при учете (25) для минимальной длительности импульса получаем выражение (7).

Для оптимальных условий сжатия коэффициент компрессии

т. е. импульс может быть сжат во столько раз, во сколько раз его спектр расширен за счет частотной модуляции. Естественно, что максимальная мощность импульсов при компрессии увеличивается в раз.

Компрессия ЧМ импульсов имеет много общих черт с фокусировкой световых пучков. На рис. 1.8а, показаны форма пучка и волнового фронта в различных сечениях среды. Форма огибающей и вид ЧМ на характерных этапах сжатия импульса изображены на рис. Из сравнения обоих процессов следует, что о компрессии импульса можно говорить как о фокусировке во времени, причем роль «временной линзы» выполняет частотный модулятор. Область оптимального сжатия импульса эквивалентна области перетяжки пучка; при переходе через область оптимального сжатия знак ЧМ меняется на обратный (рис. 1.36, кривая 3) по аналогии с изменением кривизны фазового фронта пучка при прохождении через область перетяжки. Обратим внимание на то, что при фокусировке интенсивность пучка в перетяжке возрастает как квадрат отношения радиусов пучков, мощность же импульсов при компрессии растет как отношение их длительностей в

первой степени. В этом проявляется различие размерности пучков от размерности импульсов.

Фокусным расстоянием «временной линзы» является параметр

Эта величина получается в приближении «геометрической оптики» из (8) при условии которое соответствует импульсам с сильной девиацией частоты — аналог сильно расходящихся световых пучков. Импульсы с частотной модуляцией могут генерироваться самими лазерами, либо могут быть получены при помощи внешней модуляции.

Рис. 1.8. Управление фазой световых волн в пространстве и во времени (б - г). Фокусировка пучка линзой: а и б (для г) — ход лучей и форма пучка перед линзой непосредственно после линзы (2), в области перетяжки (3), в фокальной плоскости линзы (4); штриховые линии — волновой фронт. Компрессия ЧМ импульса в среде с нормальной дисперсией: и в — форма импульса и вид колебаний перед частотным модулятором на входе компрессора (2), в области оптимального сжатия (3) и в «фокальной» плоскости (4); фаза (штриховые) и частота (сплошные) в тех же сечениях среды

В последнем случае для импульсов наносекундной длительности обычно используется электрооптическая модуляция, для создания же ЧМ пико- и фемтосекундных импульсов широкое применение находит явление фазовой самомодуляции (§ 2.2).

Авторы [281 получили почти -кратное сжатие в одномодовом оптическом волокне ЧМ импульса, генерируемого лазерным диодом с распределенной обратной связью при модуляции тока накачки. Импульс с начальной длительностью 1,7 не на длине волны сжимался

до 0,35 нс после прохождения 104 км (рис. 1.9). Недавно [81] получены импульсы длительностью при помощи электрооптической модуляции непрерывного излучения аргонового лазера в микроволновом резонаторе, возбуждаемом импульсным излучением с частотой и последующего сжатия ФМ излучения дифракционной решеткой.

Рис. 1.9. Сжатие ФМ импульсов в линейном волоконном световоде. Представлены экспериментальные данные зависимости длительности импульса от расстояния [28]

Компрессия супергауссовских световых импульсов. Рассмотрим особенности компрессии импульсов с формой отличной от гауссовской. Для наглядности обратимся к супергауссовскому импульсу с ФМ (1.1.30). Во втором приближении теории дисперсии среднеквадратичная длительность такого импульса [53]

где

Для определенности в (28) принято . Если то на расстоянии

среднеквадратичная длительность достигает, минимального значения

Из (30) следует, что чем ближе форма начального импульса к прямоугольному (чем больше тем больше минимальная длительность Другими словами, для супергауссовских импульсов коэффициент компрессии оказывается меньше, нежели для гауссовского. С ростом уменьшается и длина компрессии.

Преобразование ЧМ импульсов произвольной формы; спектрон; обращение формы импульса. Проанализируем распространение ФМ импульсов в диспергирующих средах, не задаваясь конкретной первоначальной формой огибающей. Такое рассмотрение позволит установить еще ряд интересных и полезных свойств деформации световых импульсов, которые могут найти применение в лазерной физике и оптической связи.

Наличие во втором приближении теории дисперсии точного решения для огибающей гауссовского импульса позволяет довольно просто рассчитать огибающую в диспергирующей среде для импульса произвольной формы. При этом по аналогии с методом, используемым в теории волновых пучков, световой импульс разлагается по гауссовским волновым пакетам [55].

Эволюция импульса в среде во втором приближении теории дисперсии описывается выражением (1.1.15). Пусть рассматриваемый импульс произвольной формы имеет линейную ЧМ:

Разложим его огибающую по полиномам Эрмита образующих полную систему ортогональных функций:

где

Подставляя (32) в (1.1.15), получаем

где определяются соответственно (4), (5) и (6),

Из (33) видно, что поведение всех «мод» импульса одинаково: одни и те же параметры характеризуют длительность «мод» и их фазу. Этот результат для импульсов следовало, естественно, ожидать по аналогии с результатом для пучков [561.

Использование разложения (33) обладает определенными удобствами при расчете трансформации огибающей и изменения фазы импульса, поскольку обычно формы лазерных импульсов близки к гауссовским. Для точной аппроксимации экспериментальных данных в (33) достаточно оставить 20—30 слагаемых [55]. Согласно (33) распространяющимся в диспергирующей среде импульсам присущи следующие свойства. Импульсы, огибающая которых описывается четной или нечетной функцией в процессе распространения сохраняет свою симметрию. Импульс с произвольной формой на начальном этапе распространения становится симметричным, затем уширяется. В симметризации импульса произвольной формы в дальней зоне можно убедиться без использования его разложения на «моды»; при этом удается выявить еще ряд дополнительных свойств трансформации импульса в диспергирующей среде.

Спектром., форма импульса в дальней зоне. Подставим (31) в (1.1.15)

Будем интерпретировать наличие ЧМ у импульса как результат про хождения через ЧМ устройство («временную» линзу). На фокусном расстоянии «временной линзы», т. е. для при

Из полученного результата можно сделать следующие выводы об импульсе в «фокальной» плоскости «временной линзы». Форма импульса в точности повторяет форму фурье-спектра первоначального импульса [23, 291; такие импульсы получили название спектронов [30, 31]. Огибающая импульса симметрична независимо от начальной формы (рис. 1.10), за исключением асимметричного, описываемого нечетной функцией

Рис. 1.10. Преобразование огибающей светового импульса в диспергирующей линейной среде: а — первоначальный импульс; спектрон (импульс в фокальной плоскости «временной» линзы); в — обращенный во времени импульс (импульс в оптически сопряженной плоскости «временной» линзы). Огибающая импульса нормирована на максимальное входное значение

Преобразованный симметричный или асимметричный импульс обладает линейной ЧМ, имеющей ту же скорость, что и входная ЧМ, но с противоположным знаком. Можно показать, пользуясь (1.1.19) и (1.1.21), что среднеквадратичная длительность преобразованного импульса где — среднеквадратичная ширина спектра. Поэтому, если импульс будет уже исходного, а при шире. Перечисленные свойства импульса аналогичны свойствам светового пучка в фокальной плоскости линзы [7]. В отсутствие указанными характеристиками в диспергирующей среде импульс обладает в дальней зоне При этом в (34) в экспоненте можно пренебречь и выражение (34) принимает вид, подобный (35). Это свойство также является полным аналогом свойств волновых пучков.

Обращение формы импульса. «Временные линзы» (частотные модуляторы) могут быть положены в основу схем преобразования световых импульсов по аналогии со схемами формирования световых пучков и изображений [7, 32].

Рассмотрим в качестве примера преобразование светового импульса системой диспергирующая среда — частотный модулятор — диспергирующая среда [31]. Комплексная амплитуда после модулятора

где расстояния, пройденные импульсом до и после модулятора. Если выполнено условие

эквивалентное формуле линзы в геометрооптическом приближении, то из (36) получаем

Отсюда следует, что форма импульса сохраняется [31], но она обращена во времени по отношению к исходной [33] (см. знак в аргументе Амплитуда импульса изменяется в раз, а длительность — в раз. В зависимости от величины импульс будет либо сжат либо растянут Импульс обладает частотной модуляцией со знаком, противоположным знаку ЧМ, задаваемым модулятором.

Пример обращенной во времени огибающей светового импульса изображен на рис.

В настоящем параграфе мы ограничились рассмотрением деформации импульса с действительной амплитудой, выводы же анализа в большинстве случаев остаются справедливыми и для комплексной амплитуды, т. е. при замене, например, в (38)

Здесь, разумеется, появляются дополнительные результаты, связанные с фазой Если нечетная функция, то при обращении огибающей импульса обращенной во времени оказывается и его фаза. Очевидно, что если исходный импульс до прохождения частотного модулятора имеет фазовую модуляцию то при условии в преобразованном импульсе ФМ отсутствует.

Преобразование световых импульсов в обращенные во времени дает возможность реализовать операцию свертки в оптике. Измерение последней может быть использовано, например, для восстановления вида огибающей [33]. Растяжение импульсов без изменения его формы можно применить, очевидно, для преобразования сверхкоротких импульсов из одного диапазона длительностей в другой, в котором измерение формы огибающей не представляет трудностей.

Управление формой огибающей методами фурье-оптики. Поиски и разработки оптических систем, оптимальным образом осуществляющих дисперсионное сжатие ЧМ импульсов, или на спектральном языке операцию фазировки спектральных компонент, привели одновременно к созданию эффективных систем, которые позволяют управлять амплитудами и фазами различных спектральных компонент импульса, т. е. управлять комплексной огибающей импульса.

Применяемые с этой целью оптические системы можно разделить на два типа. В одних воздействие на спектральные компоненты импульса происходит без разделения их в пространстве. Примеры таких устройств, базирующихся, по существу, на аналогии между дисперсионным расплыванием волновых пакетов и дифракцией волновых пучков, рассмотрены в этом и следующем параграфах. В другом типе систем, принципиально отличающихся от первого, спектральные компоненты импульса сначала разделяются в пространстве, что дает возможность независимо изменять их амплитуды и фазы (см. также § 4.6). Трансформированный таким образом сигнал подвергается обратному преобразованию. Иначе говоря, устройства второго типа состоят из двух сопряженных спектральных приборов, один из которых реализует фурье-анализ импульса, а другой — фурье-синтез (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Принципиальная схема управления формой огибающей короткого импульса [38]: 1 и 2 — диспергирующие элементы, и линзы с фокусным расстоянием

Опишем аналитически работу оптической системы, изображенной на рис. 1.11, относящейся к устройствам второго типа и состоящей из диспергирующих элементов 1 и 2 (например, призмы, дифракционные решетки и т. п.), которые расположены в фокальных плоскостях линз с фокусным расстоянием Пусть на диспергирующий элемент 1, осуществляющий разложение частотного спектра по углу, падает плоский волновой пакет с комплексной амплитудой ее фурье-спектр — Передаточная функция элемента для плоской волны с частотой

где поперечная координата в плоскости элемента волновое число, соответствующее несущей частоте дисперсионный параметр (для дифракционной решетки значение дается выражением (1.5.176)).

На выходе диспергирующего элемента 1 для фурье-спектра импульса имеем

где учитывает конечные размеры апертуры элемента 1 (для простоты рассматриваем двумерный случай). В задней фокальной

плоскости (фурье-плоскости) линзы реализуется фурье-преобразование, в результате из (41) получаем

где — фурье-образ Волновое число х связано с координатой х в фурье-плоскости соотношением Функция имеет смысл аппаратной функции, ее ширина Асож где а — размер апертуры

Для исходных импульсов длительностью временная зависимость амплитуды поля в фурье-плоскости имеет вид

Отсюда следует, что излучение в точках фокальной плоскости имеет одинаковую длительность но зависящую от координаты точки частоту Длительность может на несколько порядков превышать значение Это уширение импульсов при спектральном разложении можно использовать для получения интерференции неперекрывающихся во времени коротких импульсов, что позволяет зарегистрировать относительное распределение фаз по спектру излучений, т. е. записать голограмму (см., например, [38]).

Если в фурье-плоскости расположен транспарант с коэффициентом передачи то на выходе диспергирующего элемента 2 с апертурой для отфильтрованного излучения имеем

Учитывая коэффициент передачи элемента 2, найдем фурье-спектр поля на его выходе: Переходя в этом соотношении от частоты ко времени и интегрируя по х, получим временную зависимость амплитуды излучения на выходе системы,

где

— функция Грина всей системы. Здесь фурье-образ

Согласно (45) управлять временным откликом оптической системы можно при помощи изменения ее пространственного отклика -Основная же роль апертурных функций сводится к ограничению времени отклика системы. Для времени функция

Конкретные примеры использования изложенных в настоящем разделе идей по управлению формой огибающей коротких световых импульсов будут приведены в гл. 4 и 6.