§ 2.8. Неустойчивость световых волн в нелинейных средах; самовоздействие случайно-модулированных импульсов

В предыдущем параграфе показано, что совместное проявление дисперсии и нелинейности при определенном значении энергии приводит к формированию стационарного импульса—солитона. Большой практический интерес представляет анализ поведения им.

пульса при значительном превышении энергии над критической («за-критические» импульсы), когда начальный этап распространения начинается с самосжатия (рис. 2.13). В этой ситуации на первый план выходят вопросы устойчивости процесса самосжатия по отношению к регулярным или шумовым возмущениям исходного импульса.

Заметим, что аналогичные задачи возникают и в теории самофокусировки световых пучков. Разработчики мощных лазерных систем давно столкнулись с явлением так называемой мелкомасштабной самофокусировки в активных элементах оптических усилителей. Ниже мы сконцентрируем внимание на проблеме устойчивости существенно закритических световых импульсов и лишь кратко обсудим взаимосвязь пространственных и временных самовоздействий.

Временная неустойчивость непрерывного излучения. Начнем с задачи о поведении малых временных возмущений на фоне мощного непрерывного излучения. На входе в нелинейную среду комплексную амплитуду поля представим следующим образом:

комплексная амплитуда возмущения, Решение уравнения самовоздействия (2.7.1) для рассматриваемой суперпозиции волн ищем в виде

где добавка к волновому числу, обусловленная интенсивной монохроматической волной. Подставляя (2) в (2.7.1), в первом приближении теории возмущений получаем

По существу, уравнение (3) описывает поведение возмущений в параметрическом приближении, накачкой является интенсивная монохроматическая волна. Разделяя действительную и мнимую части возмущения,

получаем систему уравнений

Для частного случая гармонических возмущений

где и - начальные амплитуды, - частота, - волновое число. Условие совместности системы (5) приводит к дисперсионному

соотношению

В среде с нормальной дисперсией параметр веществен и, следовательно, модулированная волна в нелинейной среде устойчива. Ситуация изменяется в среде с аномальной дисперсией В полосе частот параметр становится мнимым, и возмущения нарастают по с инкрементом

Максимальное значение инкремента

достигается при частоте возмущений

или при периоде модуляции

Реализующиеся в экспериментах значения приведены в § 5.7.

Неустойчивость непрерывного излучения к временной модуляции впервые рассматривалась в середине 60-х годов [116,64]. Недавно обсуждалось [65] влияние оптических потерь на модуляционную неустойчивость монохроматической волны. Авторы [66] рассмотрели модуляционную неустойчивость с учетом волновой нестационарности, уравнение (2.7.1) было дополнено слагаемым, связанным с коэффициентом (см. (2.4.1)). Подчеркнем еще раз, что модуляционная неустойчивость волны при самовоздействии возникает в среде с аномальной дисперсией. В среде с нормальной дисперсией может иметь место модуляционная неустойчивость, обусловленная кросс-модуляцией (§ 2.6). В [67] показано, что важную роль в этом случае играет эффект группового запаздывания взаимодействующих импульсов.

Результаты работ [116, 64—67] и проведенное рассмотрение справедливы лишь для начальной стадии модуляционной неустойчивости. Развитая стадия, когда возмущения становятся сравнимыми с может быть проанализирована лишь численными методами [69]. Практически важной является гармоническая модуляция (§ 5.7). Амплитуда гармонических возмущений экспоненциально нарастает с расстоянием, затем наступает режим насыщения. В этот момент из непрерывного излучения формируется последовательность отчетливо разделенных импульсов. На рис. 2.15 изображены временные профили и интенсивности на развитой стадии неустойчивости, соответствующие различным частотам затравочной модуляции. Видно, что непрерывное излучение трансформировалось в импульсную последовательность. Как показано [69], максимальный контраст излучения (отношение пиковой интенсивности к интенсивности фона) реализуется при частоте По мере дальнейшего распространения контраст излучения снижается.

На рис. 2.16 приведена зависимость расстояния на котором непрерывное излучение трансформируется в импульсную последовательность, от частоты модуляции

Рис. 2.15. Развитая стадия модуляционной неустойчивости непрерывного излучения. Временные профили интенсивности изображены на расстояниях, где контраст импульсов максимален, при (2), 1,22 (5)

Видно, что имеет минимум при и сравнительно слабо зависит от в центре полосы усиления. Величина заметно возрастает по мере приближения к ее высокочастотной границе

Пространственная неустойчивость плоских волн и волновых пучков. Задача об устойчивости плоской волны к поперечным пространственным возмущениям впервые детально рассматривалась Беспаловым и Талановым [30].

Рис. 2.16. Зависимость расстояния на котором достигается максимальный контраст импульсов, генерируемых за счет модуляционной неустойчивости, от относительной частоты затравочной модуляции -литуда модуляции

По аналогии с задачей о временной неустойчивости поле в нелинейной среде представим в виде

где учитывает слабые поперечные возмущения Их эволюция в среде в соответствии с (2.5.2) описывается уравнением

Решение (11) ищем в виде

Подставляя (12) в (11), получим

Поперечные возмущения с волновым числом неустойчивы. Максимальный инкремент и соответствующее ему поперечное волновое число равны (ср. с (9),

Определяемый с помощью (146) поперечный размер неоднородностей

хорошо согласуется с оценкой по (2.5.12). В отдельной неоднородности содержится мощность превышающая критическую мощность самофокусировки (2.5.9), Вследствие этого световой пучок мощностью значительно больше критической и размером гораздо больше а будет разбиваться на отдельные неоднородности, которые затем фокусируются, образуя нити.

Рис. 2.17. Расслоение лазерного пучка при самофокусировке [70]

Авторы [70] наблюдали в эксперименте расслоение лазерного пучка на регулярные неоднородности (рис. 2.17). Мощности, содержащиеся в отдельных неоднородностях, превышали критическую мощность самофокусировки. Количество неоднородностей увеличивалось с ростом интенсивности пучка.

Теоретическое рассмотрение расслоения световых пучков с конечной апертурой проведено в [71] для коллимированных и в [72] для сходящихся и расходящихся пучков. Образование нитей зависит от формы пучка, поскольку определяющая это явление интенсивность меняется в поперечном сечении. Таким образом, в реальном пучке, наряду с его самофокусировкой как целого (крупномасштабная самофокусировка), может развиваться разбиение пучка на нити (мелкомасштабная самофокусировка). При существенном превышении мощностью пучка критического значения мелкомасштабная самофокусировка доминирует. Отметим, что особенности пространственной неустойчивости встречных плоских волн обсуждаются в [73].

Модуляционная неустойчивость импульсов. Пусть начальные условия для уравнения (3) имеют вид

и амплитуда значительно превышает критическое значение, при котором формируется солитонный импульс. Некоторое представление о характере происходящих в этом случае процессов можно составить на основе квазистатического обобщения формул (9), (10), полагая в них Значение и соответствующая ему частота модуляции меняются со временем, достигая максимального значения на вершине импульса. Детальная информация о модуляционной неустойчивости импульса была получена в численных экспериментах [68]. Для случая гармонических возмущений показано, что частотная ширина области неустойчивости для импульса несущественно отличается от таковой для непрерывного излучения той же амплитуды. Так же как и в случае непрерывного излучения, при распространении закритического импульса можно выделить точку в которой он распадается на последовательность субимпульсов, что связано со слабой зависимостью от в центре инкрементной полосы частот (рис. 2.16). Отметим, что пороговое значение амплитуды при котором модуляционная неустойчивость начинает доминировать над процессом самосжатия импульса как целого, экспоненциально убывает с ростом

Самовоздействие случайных импульсов. Воздействие случайных возмущений на регулярный импульс на начальном этапе нелинейного распространения изучено [74—76] в приближении заданного канала с использованием метода интегрирования по траекториям. Суть развитого подхода состоит в том, что уравнение (2.7.1) записывается в континуально-интегральной форме, которая удобнее для приближенного аналитического определения статистических характеристик случайно модулированного импульса в нелинейной среде. Прежде чем продемонстрировать применение этого подхода, перепишем (2.7.1) в виде

Здесь введены обозначения

где определяется (2.3.7), а С помощью метода Фейнмана интегрирования по траекториям (17) можно представить в виде (см. также [78])

где . Функция формально является функцией

Грина, она выражается через континуальный интеграл

где а дифференциал означает интегрирование по бесконечному числу траекторий, связывающих точки с координатами и причем

Точное аналитическое решение (18), (19), как и исходного уравнения (17), для случайных импульсов не представляется возможным. Очевидный приближенный способ решения (18) — использование метода итераций. Максимальный вклад в (19) дают траектории, которые удовлетворяют уравнению Эйлера

или в нашем случае уравнению

которое решается аналитически только для определенного вида В качестве нулевого приближения можно взять решение соответствующее или получаемое при пренебрежении в (17) дисперсионным членом. Имея в виду анализ распространения мощных импульсов, воспользуемся вторым вариантом:

Следовательно,

Использование замены (22) в (21) означает, что на следующем этапе решения (18) мы рассматриваем распространение импульса в нестационарной среде, параметры которой определяются исходным импульсом. Такое приближение принято называть приближением заданного канала Оно справедливо на расстояниях

Ограничимся анализом самовоздействия ФМ импульсов [75]. Нетрудно видеть в (22), что фазовая модуляция не влияет на параметры заданного канала. В случае импульсов с гауссовской огибающей учитывая (22), для оптимальных траекторий из (21) в приосевом приближении получаем

где Постановка (23) в (19) дает

Будем считать, что импульс имеет случайную

Статистические свойства фазы

время корреляции фазовых флуктуаций.

Корреляционная функция импульса в нелинейной среде в соответствии с (18), (24) определяется выражением

Из (27) следует, что в рассматриваемом приближении средняя по ансамблю длительность импульса и время корреляции тк изменяются по одинаковому закону: Эти величины остаются постоянными при

т. е. статистически средний импульс может распространяться стационарно. Данный результат отличается от результата для импульса с регулярной ФМ [75]. Его нетрудно понять. В отдельных импульсах (реализациях) наличие ФМ приводит к дополнительному расширению или сужению импульса, поэтому при определенном соотношении параметров средняя длительность импульса и время корреляции могут быть неизменными.

Случайная ФМ импульса приводит к росту порога стационарного распространения и, следовательно, к увеличению пороговой плотности энергии. При слабых фазовых флуктуациях импульс (25) можно представить в виде суммы регулярной и случайных частей, каждая из которых ведет себя по-разному в нелинейной среде. Поэтому для таких импульсов не существует условия стационарного распространения.

В приближении заданного канала в [74] рассмотрено влияние шумового возмущения на нелинейный режим распространения регулярного импульса. Пороговые условия формирования оптических солитонов из шумовых импульсов проанализированы в [79, 80].

Картина самовоздействия шумовых импульсов изучалась как методом интегрирования по траекториям [76], так и методом статистических испытаний [68, 81, 82]. Обратимся к результатам работы 168], в которой рассмотрено воздействие на закритический импульс случайных возмущений вида

где комплексный гауссовский процесс с временем корреляции тк. На рис. 2.18 изображены временные профили интенсивности исходного и распавшегося импульсов при различных временах тк. Видно, что импульс распадается на последовательность случайно

положенных субимпульсов. Длина распада минимальна в том случае, когда характерная «частота» случайных возмущений совпадает с центром области неустойчивости, определяемой

Рис. 2.18. (см. скан) Распад многосолнтонного импульса за счет модуляционной неустойчивости: профили входных импульсов (штриховые линии) и в точке распада (сплошные) при

По мере увеличения времени корреляции, вплоть до значений порядка длительности импульса, появляются реализации, в которых образуется один узкий импульс на фоне широкого пьедестала, но расстояние,

на котором он образуется, вообще говоря, не совпадает с длиной самосжатия детерминированного импульса. Определяющую роль здесь играет интеграл перекрытия спектральной плотности шума и Таким образом, наличие шумовых возмущений закритических импульсов препятствует их самосжатию. При достаточно больших длинах импульс трансформируется в последовательность солитонов со случайными параметрами.

Для шумовых импульсов на начальном этапе самовоздействия рассчитаны время корреляции [76, 81], флуктуации интенсивности [82] и распределение плотности вероятности флуктуаций поля [81].

В заключение отметим, что задача о развитии возмущений при одновременной модуляции в пространстве и во времени относится к более сложным. Поэтому до сих пор рассмотрено поведение таких возмущений лишь на фоне плоской волны [77, 83].