§ 5.10. Восстановление временных зависимостей амплитуды и фазы пикосекундных лазерных импульсов по характеристикам их нелинейного взаимодействия с пробными односолитонными импульсами

Регистрация временного поведения интенсивности и фазы лазерных импульсов с субпикосекундным временным разрешением открывает возможности для существенного продвижения в области исследования быстропротекающих процессов в атомах, молекулах и конденсированных средах. Некоторые из используемых в этой области методик будут рассмотрены в гл. 6. В настоящем параграфе мы обсудим принципиально новые подходы, теоретической основой для которых

является аппарат обратной задачи рассеяния, а экспериментальной основой — создание перестраиваемых по частоте и длительности солитонных лазеров, уменьшение уровня потерь в волоконных световодах и возможность их компенсации за счет ВКР усиления.

Основываясь на результатах предыдущего параграфа, рассмотрим метод определения неизвестной комплексной амплитуды по результатам измерений амплитуд и/или групповых скоростей пробных односолитонных импульсов при их суперпозиции с Итак, на вход нелинейного волоконного световода подается суперпозиция вида

где пробный солитон, характеризуемый параметрами зондируемый импульс, который мы хотим восстановить.

Начнем со случая, когда амплитуда сигнального импульса мала, так что для него доминирующим процессом является дисперсионное расплывание. Суперпозиция с солитонным импульсом при приводит к изменению параметров пробного солитона: Выразим это изменение по формуле теории возмущений [36]:

Наша цель состоит в определении по регистрируемым вариациям рассматриваемым как функции от параметров пробного солитона В зависимости от варьируемых параметров здесь можно выделить несколько различных подходов [55].

Позиционный метод. В этом методе варьируемым параметром является временная задержка пробного солитона относительно зондируемого импульса. Без ограничения общности предположим, а пробный солитон и зондируемый импульс имеют одинаковые групповые скорости и, следовательно, Из (2) непосредственна следует, что

где вещественная и мнимая части комплексной амплитуды восстанавливаемого импульса. Второе из соотношений (3) легко

приводится к виду

В частном случае «узкого» солитона из (3) и (4) с использованием известного соотношения

где дельта-функция Дирака, получается простой линейный алгоритм восстановления

В рассматриваемом варианте позиционного метода эмпирическими данными являются амплитуда солитона, сформировавшегося при которая однозначно связана с его энергией и добавка к групповой скорости, однозначно выражаемая через дополнительное время запаздывания.

Практически более удобным может оказаться подход, в котором при фиксированном используются два пробных солитона, взаимодействующие с зондируемыми импульсами в двух независимых каналах и отличающиеся начальными фазами Обозначив соответствующие им вариации амплитуды через и воспользовавшись соотношением (2), получаем

Правая часть (6) представляет собой свертку зондируемого импульса с пробным солитоном; ее обращение приводит к искомой процедуре восстановления

где

— прямое и обратное преобразования Фурье. Для «узкого» солитона ядро интегрального преобразования (6) можно заменить дельта-функцией. Результирующий алгоритм представляется следующим образом:

Погрешность приведенных линейных формул (в смысле амплитудного контраста) имеет порядок где

Приведем результаты численных экспериментов по восстановлению огибающей. На рис. 5.27а изображен зондируемый импульс с прямоугольной огибающей (штриховая линия) и результат его восстановления по линейной формуле (8) в приближении узкого солитона,

Рис. 5.27. (см. скан) Результаты численных экспериментов по восстановлению огибающей сверхкороткого импульса по данным солитонного зондирования: а — спектрально-ограниченные прямоугольные импульсы с различными начальными амплитудами (штриховая линия — исходный импульс, сплошная — результат восстановления; кривые 1,2,3 — результаты последовательных итераций); видно, что качество восстановления улучшается с уменьшением и с увеличением числа итераций; восстановление прямоугольного импульса с линейной частотной модуляцией (штриховые линии — огибающая исходного импульса и форма его частотной модуляции, сплошные — результат восстановления) [55]

Видно, как возрастает точность восстановления амплитуды по мере

уменьшения от 2 до 0,5. Временное разрешение здесь определяется длительностью пробного солитона На рис. 5.276 показано восстановление импульса с линейной частотной модуляцией.

Рис. 5.28 иллюстрирует процедуру восстановления симметричного спектрально-ограниченного импульса

(штриховая линия) при различных амплитудах пробного солитона k.

Так как длительность пробного солитона близка к длительности зондируемого импульса, то применение алгоритма (8) не приводит к удовлетворительным результатам (пунктирная линия). Восстановление по более общей формуле (7) обеспечивает разрешение временной структуры сигнального импульса (сплошная линия) даже при Заметим, что число точек дискретизации по параметру было сравнительно невелико

Рис. 5.28. Восстановление огибающей сверхкороткого импульса в случае широкого пробного солитона: штриховая линия — исходный импульс, сплошная — результат обращения свертки (6), пунктирная — расчет по формуле (8), изображена половина импульса [55]

Опираясь на аналогию солитонов с квазичастицами, идею солитонного зондирования можно сопоставить с общепринятыми в ядерной физике методами определения структуры атомов и ядер по данным рассеяния пробных частиц (протонов, -частиц и т. п.). Изменения параметров солитонов будут существенными в тех точках временной оси, где «потенциал», определяемый зондируемым импульсом, имеет ярко выраженные максимумы.

Метод вариации скорости пробных солитонов. В этом методе мы фиксируем (далее для определенности положим и рассматриваем

как функцию параметра Используя (2), получаем соотношение

Фактически правая часть (9) представляет собой преобразование Фурье от произведения искомой функции на ядро, определяемое пробным солитоном. Вычисляя обратное преобразование Фурье от (9),

имеем

Приведем еще две полезные формулы, позволяющие выразить комплексную амплитуду зондируемого импульса через приращение амплитуды или скорости пробных солитонов:

Заметим, что в физических экспериментах вариацию скорости пробных солитонов можно осуществить путем перестройки частоты солитонного генератора в пределах ширины спектра зондируемого импульса. В этом контексте данную методику можно охарактеризовать как спектральное зондирование.

Рис. 5.29. Восстановление огибающей при вариации скорости (частоты) пробного солитона, изменяется амплитуда зондируемого импульса (штриховая линия — исходный сигнал, сплошная — результат восстановления по формуле [55.]

Процесс восстановления при вариации скорости пробного солитона иллюстрирует рис. 5.29. Как и ранее, штриховой линией представлен восстанавливаемый импульс. Пробный солитон имел амплитуду а его скорость в безразмерных единицах изменялась от до 8 с шагом 0,125. Видно, что при линейная формула (11) приводит к хорошему качеству восстановления.

В [551 показано, что ограничение на амплитуду зондируемого импульса обусловливающее применимость линейной теории восстановления, можно значительно ослабить, воспользовавшись итерационной процедурой в духе метода Ньютона — Канторовича. В качестве первого приближения используются результаты линейной процедуры.

Практические вопросы выбора конкретного способа восстановления определения оптимальных параметров пробных солитонов, интервала и шагов варьирования параметров или V, успешно решаются с привлечением дополнительной информации о спектре

восстанавливаемого импульса и грубой оценки его длительности. Эту информацию сравнительно легко можно получить в физическом эксперименте. Отметим, что рассмотренные процедуры не критичны по отношению к шумам эмпирических данных

Физическая идея, положенная в основу рассмотренных методик,— использование нелинейного взаимодействия зондируемого и пробного импульсов в среде с кубичной нелинейностью (волоконном световоде) — смыкается с обычными кросс-корреляционными методами, в которых используется взаимодействие сигнального и пробного импульсов в среде с квадратичной нелинейностью.