§ 5.8. Анализ нелинейных волновых полей методом обратной задачи рассеяния

Рассмотренный в предыдущих параграфах широкий круг проблем, связанных с выявлением предельных возможностей оптических информационных систем, передачей солитонов на сверхдальние расстояния и т. д., предъявляет особые требования к точности математических методов описания соответствующих процессов. Традиционные прямые методы решения уравнений шредингеровского типа (сеточные и спектральные [50]) позволяют достоверно вычислять волновые поля на расстояниях, не превышающих нескольких дисперсионных длин. Сеточная дисперсия или искусственная периодизация решения приводит к появлению артефактов. Наибольшие трудности возникают при решении стохастических задач самовоздействия в дальнем поле Применительно к импульсам пикосекундного диапазона длительностей это соответствует сравнительно большим физическим расстояниям но по мере перехода в фемтосекундный диапазон область достоверного моделирования быстро сокращается, так, при дисперсионная длина см.

Теоретической основой для адекватного анализа нелинейных волновых полей в дальнем поле служит аппарат обратной задачи рассеяния [8], который по существу является нелинейным обобщением спектрального подхода, кратко рассмотренного в § 2.6. Приведем ключевые моменты этого метода, необходимые для последующего изложения практических приложений.

Рассмотрим задачу Коши для нелинейного уравнения Шредингера, записанного в традиционной математической форме (5.2.1):

с начальным условием Ограничим класс начальных условий, предположив, что а модуль убывает при быстрее любой степенной функции. Требуется найти при произвольном

Согласно методу обратной задачи, уравнению (1) ставится в соответствие линейная задача рассеяния

в которую искомое решение входит в виде потенциала, матричнозначные функции и спектрального параметра комплексное сопряжение комплекснозначной Легко убедиться, что функции

удовлетворяют асимптотическим соотношениям

при соответственно, так как потенциал при

Связь между функциями устанавливается с помощью матрицы рассеяния Т:

коэффициенты которой зависят только от Из (3) и (4) непосредственно следует соотношение

которое можно интерпретировать как связь между амплитудами волн: падающей из (первый член в правой части), отраженной потенциалом с коэффициентом и прошедшей на (левая часть). Между коэффициентами имеет место естественная связь кроме того, при

Отметим, что при комплексных значениях спектрального параметра уравнения (2) могут, вообще говоря, иметь решения, экспоненциально убывающие как при так и при Эти значения образуют дискретный спектр и совпадают с нулями коэффициента аналитически продолженного в верхнюю полуплоскость Как показано в [8], потенциал однозначно определяется данными рассеяния, включающими совокупность нулей коэффициента а, значения и коэффициент отражения заданный на вещественной оси

Подчеркнем, что если удовлетворяет уравнению (1), то коэффициент изменяется с расстоянием по закону

а коэффициент а от не зависит: а Указанное обстоятельство позволяет легко вычислить данные рассеяния при произвольном

Солитонное решение соответствующее имеет вид

где - амплитуда солитона, определяющая и его длительность, скорость, координата максимума и фаза. Если скорости всех входящих в решение (1) солитонов различны, то при солитонная составляющая решения определяется тривиальной линейной суперпозицией

где выражается формулой (7). Несолитонная составляющая решения (1), определяемая коэффициентом отражения убывает при как Заметим, что столкновения шредингеровских солитонов приводят лишь к сдвигу их центров и фаз.

Соотношение энергий солитонной и несолитонной частей решения можно установить, обратившись к нелинейному обобщению теоремы Парсеваля, согласно которому

Первый член в правой части этого равенства соответствует энергии солитонной части решения (дискретный спектр), второй — несолитонной части (непрерывный спектр). Эта теорема позволяет установить соотношение между фурье-спектром и его нелинейным аналогом, определяемым коэффициентом Из (9) видно, что в отсутствие солитонной составляющей при практически совпадает с фурье-спектром

При конечном солитонная составляющая вычисляется по формуле

в которой вектор-столбец является решением линейной системы уравнений

Элементы матрицы А вычисляются следующим образом:

где

штрихом обозначено дифференцирование по

К сожалению, аналитическое вычисление данных рассеяния и, следовательно, восстановление удается провести лишь для немногочисленных частных случаев [7]. Так, при начальных данных вида

где целое, формируется связанное состояние N солитонов со спектральными параметрами которым соответствуют коэффициенты рассеяния: Исследование динамики распространения солитонных

импульсов методом обратной задачи проведено в [10] в связи с задачей о самосжатии (рис. 5.1). В [35, 36] аналогичная техника применялась при анализе суперпозиции двух разнесенных во времени солитонов.

Круг практически важных задач, которые можно эффективно решать с помощью метода обратной задачи рассеяния, значительно расширился после разработки эффективных численных методик нахождения данных рассеяния и восстановления по ним при произвольном [51]. Согласно этой методике на оси х вводится сетка разбиения с совокупностью узлов

Рис. 5.20. Солитонный спектр гауссовского импульса (сплошные линии) в сравнении с -солитонным импульсом (штриховые); на вставке — отношение энергии солитонной составляющей к начальной энергии импульса в зависимости от исходной амплитуды [51]

На каждом сегменте разбиения длиной функция аппроксимируется кусочно-постоянной Частичная матрица рассеяния соответствующая ступеньке, легко вычисляется аналитически, а ее элементы имеют вид

где Глобальная матрица рассеяния определяется

как произведение частичных матриц,

Выделяя из этой матрицы коэффициенты , можно с помощью стандартных вычислительных процедур найти совокупность корней и другие данные рассеяния необходимые для восстановления

Рис. 5.21. (см. скан) Солитонная составляющая шумового импульса: а — начальный профиль интенсивности и фазы; солитонная составляющая, выделенная методом обратной задачи рассеяния на расстоянии [52]

Иллюстрацией солитонного спектра может служить рис. 5.20, на котором для гауссовского импульса изображена зависимость от амплитуды Для сравнения штриховыми линиями приведены соответствующие зависимости для начальных данных вида (11). На рис. 5.21 представлены профили интенсивности и фазы шумового импульса, а также результат восстановления его солитонной составляющей при ].

Развитые методики позволяют решить ряд важных задач стохастического самовоздействия, которым посвящены последующие параграфы.