§ 1.2. Распространение светового импульса с резким фронтом; предвестники

Обратимся к классической задаче оптики волновых пакетов, впервые рассмотренной Зоммерфельдом и Бриллюэном в связи с выяснением вопроса о скорости распространения сигнала Речь пойдет о распространении в диспергирующей среде светового импульса с резким фронтом. В настоящее время эта задача приобретает практический интерес, поскольку стала реальностью генерация световых импульсов длительностью всего в несколько периодов.

Рис. 1.2. Качественная картина формирования предвестника в линейной диспергирующей среде: а — импульс на входе; б - форма огибающей на расстоянии в среде

Качественная картина возникающих эффектов проста. Чем круче фронт импульса, тем большая доля энергии переносится спектральными компонентами, распространяющимися со скоростью практически равной скорости света с в вакууме. Действительно, на частотах для которых где собственная частота упруго связанных электронов, плазменная частота, скорость при Поэтому к наблюдателю, находящемуся в точке диспергирующей среды, оптический сигнал придет не в момент времени ( — групповая скорость), а в момент появляется так называемый зоммерфельдовский предвестник (рис. 1.2). Эта качественная картина становится совершенно наглядной, если обратиться к решению точного волнового уравнения (1.1.1).

Пусть на диспергирующую среду падает световой импульс вида

где несущая частота, функция Хевисайда:

Поле в среде описывается выражением (1.1.3), которое удобно представить как

где

— функция Грина (ср. с (1.1.15)). Если среда недиспергирующая и волновое число то В диспергирующей среде лишь при величина следовательно, для высоких частот при Отклик среды в сечении начинается в момент времени поэтому скорость волнового фронта всегда равна с вне зависимости от свойств среды [2, 3, 41]. Основная, или энергонесущая, часть сигнала приходит в момент времени Действительно, в первом приближении теории дисперсии из (2) и (1) получаем

Для детального расчета структуры поля в интервале времени нужно задать конкретный вид дисперсии Ограничиваясь по-прежнему случаем нормальной дисперсии, возьмем показатель преломления среды в виде

Запишем решение (2) через спектр начального импульса (1):

где На малых временах существенный вклад в интеграл (5) дают большие частоты При этом и

где Расчет (6) дает

где функция Бесселя от действительного аргумента. При значение Следовательно, достигая сечения

среды 2 в момент времени зоммерфельдовский предвестник начинается с нулевой амплитуды. На малых временах амплитуда предвестника мала по сравнению с исходной амплитудой С ростом времени 9 амплитуда колебаний и их период возрастают; при период и не зависит от несущей частоты

При больших временах появляется новая фаза возмущения, которая называется бриллюэновским предвестником. В этом случае основной вклад в (5) дают уже более низкие частоты в окрестности полюсов

Этот предвестник распространяется с фазовой скоростью и начинается он в момент времени Затем, как указывалось выше, в момент приходит энергонесущая часть сигнала, описываемая (3). Таким образом, полная структура светового импульса с резким фронтом в диспергирующей среде принимает вид, изображенный на рис. 1.2.

Групповая скорость и, с которой распространяется огибающая поля, является одновременно скоростью распространения энергии импульса в рассматриваемой среде с нормальной дисперсией В средах с аномальной дисперсией, т. е. в области поглощения, групповая скорость и может быть больше фазовой или даже отрицательной (рис. 1.1). Однако скорость распространения энергии и в этом случае не может быть больше с. В связи с этим в [2, 31 было введено понятие скорости сигнала определяющей момент прибытия части импульса, которая может быть зарегистрирована прибором. Такое определение связано, очевидно, с чувствительностью прибора. Заметим, что, когда несущая частота совпадает с резонансной частотой среды, поведение фронта импульса зависит от соотношения между начальной длительностью фронта, временами релаксаций (продольной и поперечной) и периодом колебаний Раби [821. Из-за трудностей наблюдения предвестников в оптическом диапазоне первые экспериментальные исследования выполнены в диапазоне радиочастот 108— 109 Гц в волноводе [21]. Авторы отчетливо наблюдали зоммерфельдовский и бриллюэновский предвестники.

Проведенное рассмотрение относится к средам без пространственной дисперсии. В средах с пространственной дисперсией диэлектрическая проницаемость среды помимо частоты зависит от волнового числа Анализ [83] распространения в таких средах оптических импульсов предсказывает существование, наряду с предвестниками Зоммерфельда и Бриллюэна, нового экситонного предвестника.