§ 2.2. Уравнения нестационарой нелинейной оптики

Распространение плоского волнового пакета в изотропной среде с кубичной нелинейностью описывается скалярным уравнением

где определяется соотношением (2.1.4), а левая часть уравнения имеет вид (1.1.1). При выводе приближенных нелинейных уравнений для комплексных амплитуд коротких световых импульсов следует учитывать, вообще говоря, дисперсию не только линейного, но и нелинейного отклика.

В этом параграфе мы выведем укороченные уравнения для дисперсионных самовоздействий. Процедура упрощения левой части (1) — получение линейных укороченных уравнений для комплексных амплитуд — подробно изложена в § 1.1. Здесь мы сосредоточимся на правой части (1). В соответствии с (2.1.4) и (2.1.5) компонента кубичной поляризации на частоте

где медленно меняющаяся комплексная амплитуда поляризации

Квазистатические и нестационарные самовоздействия. Если нелинейный отклик можно считать безынерционным, т. е.

то функцию отклика в (3) можно представить как

Подставляя (5) в (3), получаем

В соответствии с (6) для нелинейного источника в (1) имеем

Слагаемые в этом соотношении различаются порядком малости по параметру

где период оптического колебания; при этом первое слагаемое имеет нулевой порядок малости, второе — и третье — Параметр будем называть параметром волновой нестационарности.

В условиях, когда и

(точка означает временную производную), мы будем говорить о квазистатическом самовоздействии. Существует много важных примеров, когда такое приближение применимо даже при длительностях импульсов вплоть до именно в этом приближении хорошо описываются фазовая самомодуляция (§ 2.3) и солитоны в волоконных световодах (§ 2.6).

Очевидным проявлением волновой нестационарности оказывается нелинейная добавка к групповой скорости, поскольку производная

Первое слагаемое в этой формуле ответственно за формирование ударных волн огибающих (§ 2.4). Вместе с тем по мере сокращения длительности импульса все чаще приходится сталкиваться с сильными проявлениями инерции нелинейного отклика (рис. 2.1); в поле предельно коротких импульсов длительностью 5—10 фемтосекунд инерционной становится, вообще говоря, и самая быстрая электронная нелинейность.

Теоретическое описание нелинейных волновых явлений в этих условиях основывается обычно на совместном решении волновых уравнений и динамических уравнений для нелинейного отклика. Относительно просто последние выглядят для апериодического отклика. Если нелинейная добавка к показателю преломления связана с инерционными эффектами (например, высокочастотным эффектом Керра для анизотропно поляризующихся молекул), то динамическое уравнение для нелинейной добавки имеет вид

Аналогичным уравнением можно описать и нерезонансную нелинейную добавку к показателю преломления в среде, нелинейный отклик которой описывается уравнением типа уравнения Дуффинга:

Здесь собственная частота осциллятора, коэффициенты, характеризующие соответственно затухание, нелинейность и действие поля. В случае электронной нелинейности где заряд и масса электрона, число электронов в единице объема. Для интересующего нас импульсного воздействия уравнение (10) можно упростить, используя метод возмущений.

В линейном приближении представляя решение (10) в виде

для медленно меняющейся амплитуды получаем

Нелинейная часть поляризации 55131 на частоте а» в соответствии с (10) определяется уравнением

Представим как

Считая добавку к диэлектрической проницаемости действительной величиной, получаем для нее укороченное уравнение

Отсюда следует, что в общем случае при действии импульсного поля временное поведение нелинейной добавки в силу (12) отличается от поведения, характеризуемого уравнением (9). Однако вдали от резонанса когда время изменения огибающей применимо квазистатическое соотношение Тогда, выражая через для получаем в точности уравнение (9).

Отметим, что изложенный расчет дает зависимость времени от частоты Разумеется, вблизи резонанса классическая модель ангармонического осциллятора не пригодна и нелинейный отклик описывается уравнениями типа уравнений Блоха; самовоздействия в этих условиях носят сложный характер (§ 2.7).

Если на основе микроскопической модели рассчитать функцию нелинейного отклика теорию нестационарных самовоздействий можно построить, разлагая подынтегральное выражение в (3) в ряд Тейлора по временам запаздывания, аналогично тому, как это

делалось для линейной диспергирующей среды в § 1.1. В первом приближении нелинейной теории дисперсии из (3) получаем

Это соотношение аналогично (1.1.9) в первом приближении линейной теории дисперсии. В рассматриваемом случае в нулевом приближении по параметру нелинейный источник в (1) имеет вид

Из сравнения (17) с (7) видно, что дисперсия нелинейности (инерция нелинейности) может приводить, как и волновая нестационарность, к формированию ударных волн огибающей. При этом добавка к групповой скорости зависит от знака производной При она имеет противоположный знак по сравнению с добавкой, обусловленной волновой нестационарностью (7).

Выведенные в настоящем параграфе выражения для нелинейной поляризации (17) и (7) совместно с выражением для индукции электрического поля (1.1.9) позволяют перейти от точного интегродифференциального описания (1) явления самовоздействия к описанию с помощью только дифференциальных уравнений, учитывающих в различных порядках дисперсию линейной и нелинейной восприимчивостей и эффекты волновой нестационарности. Конкретный вид приближенных уравнений теории самовоздействия коротких импульсов приведен в следующих параграфах.