§ 1.5. Прохождение сверхкоротких световых импульсов через оптические устройства

Рассмотрим волновую картину прохождения сверхкоротких световых импульсов через типовые оптические элементы (зеркала, дифракционные решетки, интерферометры и т. п.), широко используемые в генераторах и формирователях лазерных импульсов пико- и фемтосе-кундной длительности. Для описания прохождения коротких импульсов через диспергирующие оптические устройства удобно использовать спектральное представление (1.4.23).

Фильтрация ЧМ оптических импульсов. При спектральном описании фурье-компоненты импульса на выходе и входе диспергирующего оптического устройства связаны соотношением

Коэффициент передачи устройства представляет собой в общем случае комплексную функцию

Здесь возможны две крайние ситуации: наиболее важную роль может играть изменение либо фазы либо модуля коэффициента передачи

В первом случае считая медленно меняющейся функцией, дисперсионные свойства удобно описывать в виде

Значения и производных берутся при При этом нет необходимости в отдельных расчетах трансформации импульса оптическим устройством с рассматриваемой дисперсией. Соответствующие выражения можно получить из результатов § 1.3 и 1.4, учитывая и производя замену группового запаздывания на и дисперсионного параметра на Это вполне понятно, поскольку набег фазы в среде Используя разложение в ряд по и сравнивая с (3), получаем указанную эквивалентность. Сказанное позволяет воспользоваться, например, выражением (1.4.2). Такое приближение адекватно описывает, например, задачи об отражении сверхкоротких световых импульсов от многослойных интерференционных зеркал и полное внутреннее отражение.

В случае когда существенна зависимость изменяется спектр сверхкороткого импульса. Такие системы являются оптическими фильтрами. Обсудим трансформацию ЧМ короткого импульса (1.4.1) фильтром с гауссовским коэффициентом передачи [57]

где — полоса пропускания фильтра. В отсутствие у импульса ЧМ его амплитуда на выходе фильтра

причем длительность импульса

Отсюда следует очевидный результат — широкополосные фильтры не изменяют длительность импульса. В противном случае происходит его уширение.

Для ЧМ импульса (1.4.1) имеем

где

Возможны следующие предельные случаи [57]:

Случаи 1) и 2) относятся к сильной ЧМ, а случай 3) — к слабой ЧМ, его результаты совпадают с (56). Таким образом, фильтрация ЧМ сверхкороткого импульса может существенно менять его параметры. Возможно практически полное подавление частотной модуляции импульса (случай 1)).

В рассмотренном примере центральные частоты пропускания фильтра и спектра импульса совпадают. Другие примеры оптической фильтрации в технике формирования сверхкоротких импульсов обсуждаются в гл. 4.

Преломление импульсов на границе диспергирующих сред; поперечное групповое запаздывание. В силу различия фазовой и групповой скоростей в диспергирующих средах при преломлении импульса на границе таких сред плоскости равных фаз и равных амплитуд не совпадают — появляется поперечное групповое запаздывание [58] и преломленная волна становится неоднородной. Этот эффект для сверхкоротких импульсов становится существенным, поскольку время запаздывания амплитудного фронта относительно волнового (фазового) может быть сравнимо с длительностью импульса.

Для более подробного анализа обсуждаемого эффекта рассмотрим падение импульса с плоским волновым фронтом из недиспергирующей среды на диспергирующую (рис. 1.12а). В преломленном импульсе волновой фронт остается плоским, время фазового запаздывания на длинах одинаково: где показатель преломления диспергирующей среды на несущей частоте. Однако в расположенные на волновом фронте точки вершины импульсов приходят неодновременно; групповая задержка между ними,

является, таким образом, функцией поперечной координаты рис. 1.12).

Распространение преломленного импульса в системе координат (рис. 1.12) в первом приближении теории дисперсии описывается выражением

где - угол преломления импульса, Соотношение (8а) нетрудно получить, например, из условия непрерывности тангенциальной составляющей вектора на границе раздела сред.

Рис. 1.12. Преломление короткого импульса на границе диспергирующей среды: а — падение из недиспергирующей среды на среду с нормальной дисперсией; падение из диспергирующей среды на недиспергирующую. Штриховые линии — волновые фронты, сплошные — линии равных амплитуд

Более наглядна, однако, запись (8а) в системе координат в которой направление оси совпадает с направлением распространения волнового фронта импульса:

Последнее слагаемое в аргументе амплитуды определяет групповую задержку (ср. с (7)), которая является функцией поперечной координаты

Согласно (86) угол между волновым и амплитудным фронтами

поперечное групповое запаздывание для пучка шириной

При расстройке запаздывание

В случае падения импульса из диспергирующей среды на недиспергирующую (рис. 1.126) преломленный импульс имеет вид

где ось совпадает с направлением распространения импульса. В (10) групповое запаздывание по сравнению с (86) имеет противоположный знак.

Из приведенных результатов следует очевидный, но важный вывод. Если сверхкороткий импульс проходит через диспергирующую среду с плоскопараллельными входной и выходной поверхностями

(плоскопараллельная пластина, лазерная среда с брюстеровскими углами), то на выходе такой среды поперечное групповое запаздывание в импульсе отсутствует. Аналогичная ситуация может иметь место, когда при прохождении импульса через какое-либо оптическое устройство, например систему призм, пути, пройденные различными лучами пучка через диспергирующие среды, оказываются одинаковыми. В противоположных случаях короткому световому импульсу присуще поперечное групповое запаздывание.

Полное внутреннее отражение сверхкоротких импульсов. При отражении волны от оптически менее плотной среды существует, как известно, критическое значение угла падения укр при превышении которого падающая волна полностью отражается обратно в первую среду В отраженной волне при этом появляется лишь фазовый сдвиг, зависящий от показателей преломления сред и угла падения. В случае полного внутреннего отражения сверхкороткого импульса видимого диапазона фазовый сдвиг сильно зависит от частоты, что приводит к изменению формы импульса. Коэффициент отражения вычисляется обычным способом [59].

В используемом нами комплексном представлении поля в форме (1.1.3) коэффициент полного внутреннего отражения

где

Выражение (11) относится к случаю, когда поляризация волны перпендикулярна плоскости падения. Если речь идет о полном внутреннем отражении относительно длинных импульсов (ширина спектра то для нахождения комплексной амплитуды отраженного импульса можно воспользоваться стандартным разложением диэлектрической проницаемости в фазе (12):

Последнее приводит к зависимости фазы от частоты вида (3). Откуда на основе результатов § 1.3 и 1.4 сразу же становится ясным, что при полном внутреннем отражении сверхкороткий импульс в общем случае может испытывать как групповое запаздывание, так и искажение огибающей. Особенно сильно огибающая импульса будет изменяться вблизи угла полного внутреннего отражения.

Новый эффект, не связанный с дисперсией, возникает при полном внутреннем отражении оптического импульса, когда его длительность достигает длительности одного периода, т. е. когда В этом случае возникают заметные искажения формы импульса даже в отсутствии дисперсии. Такая ситуация была реализована при отражении ИК импульса длительностью в один период [47].

Рассмотрим в качестве примера полное внутреннее отражение импульса со спектром

где С — константа. Импульсы с таким спектром генерируются при черенковском излучении (§ 3.5). Принимая во внимание (11), для отраженного импульса получаем

где

Для исходного и отраженного импульсов при угле падения у в точности равного критическому укр в (14) надо полагать значение фазы При форма отраженного импульса претерпевает изменения. Значение увеличивается с ростом увеличивая тем самым и фазовый скачок коэффициента отражения вблизи нулевой частоты, который, в свою очередь, приводит к усилению искажения отраженного импульса.

Рис. 1.13. Форма импульсов при полном (сплошная линия) и частичном (штриховая) внутреннем отражении [47]. Значения поля даны в произвольных единицах

Связанное с рассмотренным эффектом искажение сверхкороткого импульса наблюдалось в [47] для импульса дальнего ИК диапазона с длительностью, близкой к периоду несущей частоты. Такой импульс возбуждался за счет черенковского излучения видимого сверхкороткого импульса в кристалле танталата лития. Краткое описание эксперимента по черенковской генерации импульса и методики измерения его длительности изложены в § 3.5. Угол падения черенковского излучения на границу раздела сред составлял 21°. Значение же угла укр для в случае, когда вторая среда является воздухом, равно 8,7°. Авторы [47] наблюдали различие формы импульсов при изменении условий отражения (рис. 1.13). Для доказательства того, что искажения импульса не связаны с дисперсией и поглощением в кристалле были выполнены эксперименты при отражении от границы раздела с кремнием при этом формы падающего и отраженного импульсов были одинаковыми.

Отражение сверхкороткого импульса от зеркала. Отражение сверхкоротких лазерных импульсов от многослойных зеркал — еще один из примеров новых задач, ставших актуальными в связи с созданием

пико- и фемтосекундных лазеров. Различные аспекты этой проблемы изучены в [42—46, 60—63]. Причем в [46, 63] развита методика расчета, позволяющая проследить за временной эволюцией коэффициентов отражения и пропускания многослойного интерференционного зеркала. В других указанных работах анализ отражательных свойств зеркал базируется на спектральном подходе; резюмируем результаты этих работ.

Коэффициентом передачи зеркала является его амплитудный коэффициент отражения

Разумеется, возможно изменение с частотой со как коэффициента отражения зеркала по интенсивности так и фазы При отражении коротких импульсов от многослойных зеркал зависимость от со играет принципиальную роль. Для выяснения особенностей отражательных свойств таких зеркал можно воспользоваться результатами § 1.3 и 1.4. Напомним, что из разложения фазы и последующего анализа обнаруживается аналогия в картинах отражения сверхкороткого импульса и распространения импульса в диспергирующей среде. Другими словами, при отражении короткого импульса от многослойного зеркала возможно его линейное преобразование, подобное тому, которое он испытывает при распространении в диспергирующей однородной среде: групповое запаздывание, появление фазовой модуляции, изменение огибающей и т. п. В частности, при отражении от многослойного зеркала ФМ гауссовского импульса во втором приближении теории дисперсии справедливо выражение (1.4.2) (см. также [44]).

Детальное теоретическое изучение дисперсионных свойств многослойных зеркал во втором приближении теории дисперсии выполнено в [42—45, 60, 61]. В этих работах рассчитаны величины для различного числа слоев, различного отношения низкого и высокого показателей преломления; определены зависимости от отклонения толщины слоя от и отстройки частоты от частоты сом Заметим, что дисперсия вещества не учитывалась, поэтому изменения фазы обусловлены зависимостью от частоты результата интерференции многократных отражений внутри структуры зеркала («дисперсия» интерференции).

В [43] представлены расчеты группового запаздывания отраженных импульсов и их среднеквадратичной длительности как функции отношения со/сом. На рис. 1.14 изображены зависимости от частоты для многослойного зеркала слой с высоким (низким) показателем преломления). Авторы [44] обнаружили быстрый рост с увеличением числа слоев и отношения показателей преломления На рис. 1.15 представлена зависимость измеренной длительности импульса лазера на органическом красителе от общей дисперсии зеркал резонатора. Данные этого рисунка демонстрируют важность дисперсионных свойств зеркал при генерации сверхкоротких импульсов. Кроме того, видно, что значения

превышающие препятствуют получению лазерных импульсов короче

Расчеты временной зависимости интенсивности отраженных от многослойных зеркал гауссовских импульсов вне рамок второго приближения теории дисперсии приведены в [43, 62]. В [62] в разложении фазы учтен кубичный член, а также использовано аналитическое задание для случаев, когда необходимо принимать во внимание наличие резонансных частот.

Рис. 1.14. Частотная зависимость коэффициента отражения и дисперсионного параметра для многослойного интерференционного зеркала [44]. Зеркало состоит из 19 слоев с высоким и низким показателями преломления; толщина всех слоев равна сом

Следует заметить, что результаты [62] совпадают с результатами теории распространения сверхкоротких импульсов в среде с кубичной дисперсией (§ 1.3). В [42] предлагается использовать изменение структуры сверхкоротких световых импульсов при отражении от многослойных зеркал для их рефрактометрии и выяснения возможности применения в фемтосекундных лазерах.

Рис. 1.15. Зависимость длительности генерируемых импульсов от дисперсии зеркал резонатора [61]

Дифракция импульса на решетке. Как отмечалось выше, ясная картина действия дифракционной решетки на световой импульс была дана Мандельштамом [4]. В настоящее время дифракционная решетка является непременным элементом многих оптических устройств компрессии световых импульсов. В оптике сверхкоротких импульсов значительный интерес представляет структура дифрагированного импульса. Мы рассмотрим пространственно-временную структуру сверхкороткого лазерного импульса, отраженного от дифракционной решетки.

Угол падения у световой волны на решетку и угол ее дифракции 9 связаны соотношением

где X — длина волны, период решетки, порядок дифракции Пусть световой импульс со средней длиной волны и комплексной амплитудой (временно ограничиваемся двумерным пучком) падает и отражается от дифракционной решетки

под углами соответственно (рис. 1.16). Разложим импульс на плоские монохроматические волны:

и рассмотрим их преобразование. В параксиальном приближении для фурье-компонент исходного пучка имеем где а для отраженного . Следовательно, компоненты углового спектра пучка преобразуются так, что В соответствии с (16)

Рис. 1.16. Отражение импульса дифракционной решеткой [65]

Фурье-компоненты с частотой испытывают дополнительное угловое отклонение

В результате амплитуда компоненты частоты отраженного пучка определяется соотношением

где коэффициент характеризует эффективность отражения решетки в порядок дифракции Второй сомножитель в (18) представляет собой фактически передаточную функцию диспергирующего устройства для плоской волны с частотой (ср. с (1.4.40)).

Временная структура отраженного импульса

Видно, что форма импульса совпадает с исходной, но отраженный импульс обладает поперечной групповой задержкой угол между амплитудным и волновым фронтами (рис. 1.16). Угол зависит от несущей частоты угла дифракции 90 и периода решетки Поперечный пространственный размер импульса изменяется в раз. Такова структура отраженного импульса непосредственно вблизи дифракционной решетки, по мере его удаления она меняется из-за дифракционного расплывания. В [65] проведены расчеты дифрагированного импульса, в которых принято во внимание отличие дифракционных длин для различных спектральных компонент. Без учета этого обстоятельства структуру импульса на некотором расстоянии от решетки можно определить исходя из уравнения (1.1.16), в которое в качестве параметра следует ввести бегущее время (дисперсией групповой скорости в среде пренебрегаем).

В случае исходного коллимированного импульса с гауссовским пространственным и временным профилями,

для дифрагированного волнового пакета получаем

где введены обозначения

Здесь поперечный размер отраженного импульса вдоль оси поперечный масштаб групповой задержки, обобщенное обозначение индексов

Дифракция не влияет на параметры импульса при поскольку он дифрагирует как целое (дифракционные длины его различных спектральных компонент одинаковы). При наличии поперечной групповой задержки в случае уже в ближнем поле отраженного импульса возникает сдвиг несущей частоты, пропорциональный расстоянию и поперечной координате х. В рассматриваемом случае дифракция приводит к изменению не только параметров пучка, но и импульса: он расплывается, появляется линейный чирп. Поперечная групповая задержка изменяет вместе с тем и картину дифракции, пучка вдоль оси х (в плоскости падения импульса).

Длительность дифрагированного импульса согласно (20)

В (22) введены безразмерные длины Наиболее типичным условиям эксперимента соответствует При этом для широких пучков

т. е. зависимость длительности импульса от расстояния такая же, как и при наличии в среде дисперсии групповой скорости (ср. с (1.3.3)).. Таким образом, угловая дисперсия дифракционной решетки оказывается эквивалентна дисперсии групповой скорости (дисперсионный параметр В рассмотренном нами приближении значение угла при распространении остается постоянным. В [65] показано, что изменение наклона импульса связано с параметром В [64] рассчитано изменение формы гауссовского импульса, дифрагировавшего на решетке конечных размеров.

Итак, проведенное обсуждение показывает, что отраженный дифракционной решеткой сверхкороткий импульс изменяет свои параметры при распространении в недиспергирующей среде. Существуют две причины этого. Одна из них состоит в том, что амплитудный фронт оказывается наклоненным по отношению к направлению распространения. Другая причина заключается в различии

дифракционных длин для спектральных компонент импульса [65]. По существу, речь идет о нестационарной дифракции пучка [15], которая более подробно будет рассмотрена в следующем параграфе.

Прохождение сверхкоротких импульсов через интерферометры. Отклик интерферометра на сверхкороткий импульс зависит от соотношения его длительности времени двойного прохода между зеркалами То и полосы пропускания интерферометра Асопр:

где расстояние между зеркалами, показатель преломления среды, заполняющей интерферометр, разрешающая способность. С временной точки зрения величина определяется разностью времен между первым и последним интерферирующими волновыми фронтами [48],

где эффективное число отражений, определяемое фактором резкости.

При освещении интерферометра импульсом длительностью устанавливается интерференционная картина, практически аналогичная таковой для непрерывного излучения. В противоположном случае резкость интерференционной картины уменьшается; соответствующие расчеты для интерферометра Фабри — Перо содержатся в [48—50, 69]. При этом из спектральных измерений может быть получена, в принципе, информация о длительности импульса. Когда на выходе интерферометра имеем последовательность импульсов с убывающей от импульса к импульсу амплитудой — интерференция импульсов отсутствует.

Для спектроскопии сверхкоротких импульсов необходимо, таким образом, выполнение условия Так, для спектрального анализа, например, импульса длительностью расстояние между зеркалами интерферометра должно быть менее Изготовление подобных интерферометров наталкивается на технологические трудности, которые, однако, в последнее время успешно преодолеваются.

В экспериментах [66—68] по генерации и компрессии фемтосекундных импульсов использовался интерферометр Жира — Турнуа Он представляет собой модификацию плоскопараллельного интерферометра Фабри — Перо: коэффициент отражения переднего широкополосного зеркала другое зеркало глухое Такой интерферометр обладает замечательным свойством: модуль его коэффициента передачи равен единице, а дисперсионные свойства его легко изменять, меняя угол у падения излучения. При этом время двойного прохода импульса

При длительности импульса отклик интерферометра можно найти, пользуясь спектральным подходом. Коэффициент отражения плоской волны частоты равен

Это выражение нетрудно преобразовать к виду где

Следовательно, отраженная от интерферометра волна по отношению к падающей претерпевает лишь фазовый сдвиг. Подобная ситуация неоднократно встречалась выше.

Пренебрегая частотной зависимостью коэффициента отражения и времени для группового запаздывания и дисперсии интерферометра получаем

Из (30) видно, что дисперсия интерферометра на частоте со может быть отрицательной, положительной или равной нулю, что определяется значением Частотные зависимости фазы и группового запаздывания при различных коэффициентах отражения приведены в [68].

Рис. 1.17. Зависимость дисперсионного параметра интерферометра Жира — Турнуа от частоты (а) при нормальном падении и от угла падения (б) для длины волны в случае [66]

В [66] для двух случаев и 510 при выполнены расчеты и в зависимости от частоты и угла падения у (см. также рис. 1.17). Из рис. 1.17 следует, что, изменяя можно варьировать дисперсию эффективной групповой скорости от нормальной до аномальной.

В [66] описаны эксперименты по компрессии частотно-модулированных сверхкоротких лазерных импульсов в интерферометре в зависимости от числа отражений и угла падения. Ход угловой зависимости длительности импульса хорошо согласуется с кривой 2 на рис. 1.176 (диапазон изменения длительностей от 120 до

Максимальное значение дисперсии (30) достигается при [671

Можно найти условия, при которых интерферометр практически свободен от временных аберраций и наибольшее значение имеет дисперсия второго порядка. Центральная частота импульса должна удовлетворять равенству (31), ширина спектра [68]. Напомним, что в этих условиях трансформация сверхкороткого импульса интерферометром происходит так, как описано в § 1.3 и 1.4. Если указанные условия не выполняются, то важной становится роль дисперсии более высокого порядка. В таком режиме работы интерферометр Жира — Турнуа может быть использован для компенсации временных аберраций [681. Оптические устройства, в которых достигается плавное изменение дисперсии групповой скорости в положительной и отрицательной областях, включающие два или четыре интерферометра Жира — Турнуа, разбираются в [66] и [68] соответственно.