§ 1.3. Волновые пакеты в однородной диспергирующей среде; дисперсионное расплывание

Рассмотрим особенности распространения спектрально-ограниченных световых импульсов в диспергирующей среде. Как отмечалось выше, если роль дисперсии групповой скорости в среде существенна,

то параметры импульса изменяются в процессе распространения. Естественно, что главные черты трансформации светового импульса в диспергирующей среде описываются низшими приближениями теории дисперсии; обычно ограничиваются вторым или третьим приближением, для которых ниже приведено подробное обсуждение. Вместе с тем анализ среднеквадратичной длительности импульса можно провести аналитически безотносительно к порядку дисперсии среды и формы начального импульса.

Второе приближение теории дисперсии; аналогия с дифракцией световых пучков. В этом приближении распространение светового импульса описывается параболическим уравнением (1.1.14), имеющим решение (1.1.15). Напомним, что уравнению (1.1.14) соответствует аппроксимация дисперсионных свойств среды характеристикой вида

Значение соответствует нормальной дисперсии групповой скорости, а аномальной дисперсии.

Обсудим распространение спектрально-ограниченных импульсов. Наглядные аналитические результаты получаются для гауссовских импульсов (1.1.25). Согласно (1.1.15) комплексная амплитуда импульса в среде

где

здесь и далее время в бегущей системе координат обозначаем через Длину называют длиной дисперсионного расплывания волнового пакета или дисперсионной длиной.

Длительность гауссовского импульса в диспергирующей среде нарастает с расстоянием:

Вместе с тем, как отмечалось выше, в линейной среде ширина спектра волнового пакета сохраняется. Уменьшение же вклада в спектр модуляции огибающей компенсируется появлением фазовой (частотной) модуляции. Причем скорость изменения частоты в соответствии с (2) равна

Таким образом, в диспергирующей среде спектрально-ограниченный импульс преобразуется в импульс с линейной частотной модуляцией; знак ЧМ определяется знаком Графики функций (3) и (4) показаны кривыми 1 на рис. 1.3.

Из (3), (4) видно, что изменение параметров гауссовского импульса в среде зависит как от дисперсии групповой скорости так и от

первоначальной длительности которые совместно определяют дисперсионную длину (2). Зависимости от длины волны для воды и ряда кристаллов, используемых в нелинейной оптике, изображены на рис. 1.4.

Рис. 1.3. Относительные длительность и скорость изменения частоты светового импульса в зависимости от пройденного расстояния в диспергирующей линейной среде: 1 — импульс без ФМ, ; 2 - ФМ импульс, импульс,

Если речь идет о распространении короткого импульса вблизи резонанса (например, в газах), то значение нетрудно найти, пользуясь известной формулой Зельмейера.

Выражение (2) совпадает с формулой, описывающей дифракцию плоской волны на щели. Поэтому поведение спектрально-ограниченного импульса в диспергирующей среде аналогично дифракции двумерного светового пучка. Дисперсионная длина полностью аналогична дифракционной длине светового пучка радиус пучка).

Рис. 1.4. Длина дисперсионного расплывания для воды (а) и кристаллов (б) в зависимости от средней длины волны сверхкороткого импульса длительностью [19]. Приведена также зависимость показателя преломления воды

Имеются, однако, и определенные различия между поведением волновых пучков и пакетов. Помимо того, что в реальных ситуациях имеют дело с трехмерными световыми пучками, дисперсионный параметр являющийся аналогом может быть отрицательным. В

связи с этим в отличие от дифрагирующих пучков с положительной кривизной волнового фронта, световые импульсы могут при распространении приобретать как положительную, так и отрицательную скорость изменения частоты (см. (4)).

По аналогии с дифракцией светового пучка при дисперсионном расплывании светового импульса выделяют ближнюю зону и дальнюю (фраунгоферову) зону импульса В первом случае длительность импульса а во втором пропорциональна длине

Из (3) нетрудно найти начальную длительность при которой на расстоянии от входа в диспергирующую среду импульс имеет минимальную длительность где Для более коротких входных импульсов дисперсионное расплывание сказывается сильнее.

В случае гауссовского импульса форма огибающей во втором приближении теории дисперсии при распространении сохраняется; для импульса любой другой формы — изменяется (§ 1.4). Поскольку в лоследнем случае наглядное выражение для трансформации огибающей импульса получить не удается, обычно ограничиваются аналитическим расчетом среднеквадратичной длительности Так, например, для супергауссовского импульса (1.1.30) без ФМ [53]

где тско дается (1.1.32). При выражение (6) совпадает с (3). Для имеем

Отсюда следует, что супергауссовский импульс в диспергирующей среде может расплываться значительно сильнее, нежели гауссовский. Дисперсионное расплывание импульса увеличивается с приближением его начальной формы к прямоугольной.

Третье и высшие приближения теории дисперсии. В тех случаях, когда дисперсионный параметр или весьма мал, для учета дисперсионного расплывания необходимо исходить из более высокого приближения теории дисперсии, т. е. принимать во внимание уже параметр В третьем приближении теории дисперсии распространение импульса в соответствии с (1.1.10) описывается уравнением бегущей системе координат)

Решение этого уравнения

где

— функция Грина. Амплитуда даже для начального гауссовского импульса аналитически может быть найдена только приближенно при методом перевала [111. Поэтому обратимся к результатам численного расчета огибающей представленным на рис. 1.5, кривые на котором построены для различных значений дисперсионных параметров

Из рис. 1.5 следует, что кубичная дисперсия среды при приводит к модуляции хвоста импульса, фронт остается гладким; в случае фронт и хвост меняются ролями.

Рис. 1.5. (см. скан) Трансформация огибающей гауссовского импульса (а) в диспергирующей линейной среде при значении параметров [20]. Огибающая импульса нормирована на максимальное значение

Импульс в среде становится асимметричным, его «центр тяжести» смещается см. (1.1.20а)).

Интенсивность светового импульса в диспергирующей среде можно выразить через функцию имеющую смысл фурье-спектра интенсивности:

В [20] показано, что для исходного гауссовского импульса

Среднеквадратичная длительность (1.1.19) дается через функцию выражением [201

Подставляя (12) в (13), получаем

где Это выражение можно записать как

Дисперсионная длина

При результат (14) совпадает с (3).

С точки зрения интегральных характеристик импульса можно ввести обобщенную дисперсионную длину выражение (14) записать в виде

где

Из (17) нетрудно определить относительный вклад квадратичной и кубичной дисперсий в расплывание импульса. С уменьшением роль дисперсии высшего порядка возрастает. Условием малости эффекта, связанного с квадратичной дисперсией, является

При этом в дальней зоне длительность импульса обратно пропорциональна квадрату его начальной длительности:

Следует также отметить, что зависимость от расстояния в третьем приближении теории дисперсии (14) аналогична таковой во втором приближении. Минимальная среднеквадратичная длительность импульса на расстоянии L в случае равна где оптимальная входная длительность

На основе уравнения (1.1.10) можно проанализировать влияние дисперсии среды на распространение импульса в сколь угодно

высоком приближении теории дисперсии. Естественно, что высшие приближения несколько уточняют количественно картину дисперсионного расплывания, сохраняя ее основные черты, выявленные во втором и третьем приближениях. Общий случай безотносительно к порядку приближения теории дисперсии и формы импульса рассмотрен в [31, 54]. Авторы этих работ исходят из отличающегося от (1.1.10) уравнения; структурно в нем отсутствует последнее слагаемое в фигурных скобках (1.1.10). В [31] установлены инварианты распространения импульса в диспергирующей среде. Таковыми являются «площадь» импульса, его энергия, спектральная плотность и ширина спектра, а также величины вида

В [54] показано, что независимо от порядка дисперсии среды и формы импульса его среднеквадратичная длительность в среде изменяется по параболическому закону.