Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1.3. Волновые пакеты в однородной диспергирующей среде; дисперсионное расплываниеРассмотрим особенности распространения спектрально-ограниченных световых импульсов в диспергирующей среде. Как отмечалось выше, если роль дисперсии групповой скорости в среде существенна, то параметры импульса изменяются в процессе распространения. Естественно, что главные черты трансформации светового импульса в диспергирующей среде описываются низшими приближениями теории дисперсии; обычно ограничиваются вторым или третьим приближением, для которых ниже приведено подробное обсуждение. Вместе с тем анализ среднеквадратичной длительности импульса можно провести аналитически безотносительно к порядку дисперсии среды и формы начального импульса. Второе приближение теории дисперсии; аналогия с дифракцией световых пучков. В этом приближении распространение светового импульса описывается параболическим уравнением (1.1.14), имеющим решение (1.1.15). Напомним, что уравнению (1.1.14) соответствует аппроксимация дисперсионных свойств среды характеристикой вида
Значение Обсудим распространение спектрально-ограниченных импульсов. Наглядные аналитические результаты получаются для гауссовских импульсов (1.1.25). Согласно (1.1.15) комплексная амплитуда импульса в среде
где
здесь и далее время Длительность гауссовского импульса в диспергирующей среде нарастает с расстоянием:
Вместе с тем, как отмечалось выше, в линейной среде ширина спектра волнового пакета сохраняется. Уменьшение же вклада в спектр модуляции огибающей компенсируется появлением фазовой (частотной) модуляции. Причем скорость изменения частоты
Таким образом, в диспергирующей среде спектрально-ограниченный импульс преобразуется в импульс с линейной частотной модуляцией; знак ЧМ определяется знаком Из (3), (4) видно, что изменение параметров гауссовского импульса в среде зависит как от дисперсии групповой скорости первоначальной длительности
Рис. 1.3. Относительные длительность Если речь идет о распространении короткого импульса вблизи резонанса (например, в газах), то значение Выражение (2) совпадает с формулой, описывающей дифракцию плоской волны на щели. Поэтому поведение спектрально-ограниченного импульса в диспергирующей среде аналогично дифракции двумерного светового пучка. Дисперсионная длина
Рис. 1.4. Длина дисперсионного расплывания для воды (а) и кристаллов (б) в зависимости от средней длины волны сверхкороткого импульса длительностью Имеются, однако, и определенные различия между поведением волновых пучков и пакетов. Помимо того, что в реальных ситуациях имеют дело с трехмерными световыми пучками, дисперсионный параметр связи с этим в отличие от дифрагирующих пучков с положительной кривизной волнового фронта, световые импульсы могут при распространении приобретать как положительную, так и отрицательную скорость изменения частоты (см. (4)). По аналогии с дифракцией светового пучка при дисперсионном расплывании светового импульса выделяют ближнюю зону
Из (3) нетрудно найти начальную длительность В случае гауссовского импульса форма огибающей во втором приближении теории дисперсии при распространении сохраняется; для импульса любой другой формы — изменяется (§ 1.4). Поскольку в лоследнем случае наглядное выражение для трансформации огибающей импульса получить не удается, обычно ограничиваются аналитическим расчетом среднеквадратичной длительности
где тско дается (1.1.32). При
Отсюда следует, что супергауссовский импульс в диспергирующей среде может расплываться значительно сильнее, нежели гауссовский. Дисперсионное расплывание импульса увеличивается с приближением его начальной формы к прямоугольной. Третье и высшие приближения теории дисперсии. В тех случаях, когда дисперсионный параметр
Решение этого уравнения
где
— функция Грина. Амплитуда
Из рис. 1.5 следует, что кубичная дисперсия среды при Рис. 1.5. (см. скан) Трансформация огибающей гауссовского импульса (а) в диспергирующей линейной среде при значении параметров Импульс в среде становится асимметричным, его «центр тяжести» смещается Интенсивность светового импульса в диспергирующей среде можно выразить через функцию
В [20] показано, что для исходного гауссовского импульса
Среднеквадратичная длительность (1.1.19) дается через функцию
Подставляя (12) в (13), получаем
где
Дисперсионная длина
При С точки зрения интегральных характеристик импульса можно ввести обобщенную дисперсионную длину
где
Из (17) нетрудно определить относительный вклад квадратичной и кубичной дисперсий в расплывание импульса. С уменьшением При этом в дальней зоне
Следует также отметить, что зависимость На основе уравнения (1.1.10) можно проанализировать влияние дисперсии среды на распространение импульса в сколь угодно высоком приближении теории дисперсии. Естественно, что высшие приближения несколько уточняют количественно картину дисперсионного расплывания, сохраняя ее основные черты, выявленные во втором и третьем приближениях. Общий случай безотносительно к порядку приближения теории дисперсии и формы импульса рассмотрен в [31, 54]. Авторы этих работ исходят из отличающегося от (1.1.10) уравнения; структурно в нем отсутствует последнее слагаемое в фигурных скобках (1.1.10). В [31] установлены инварианты распространения импульса в диспергирующей среде. Таковыми являются «площадь» импульса, его энергия, спектральная плотность и ширина спектра, а также величины вида
В [54] показано, что независимо от порядка дисперсии среды и формы импульса его среднеквадратичная длительность в среде изменяется по параболическому закону.
|
1 |
Оглавление
|