Главная > Оптика фемтосекундных лазерных импульсов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 1.3. Волновые пакеты в однородной диспергирующей среде; дисперсионное расплывание

Рассмотрим особенности распространения спектрально-ограниченных световых импульсов в диспергирующей среде. Как отмечалось выше, если роль дисперсии групповой скорости в среде существенна,

то параметры импульса изменяются в процессе распространения. Естественно, что главные черты трансформации светового импульса в диспергирующей среде описываются низшими приближениями теории дисперсии; обычно ограничиваются вторым или третьим приближением, для которых ниже приведено подробное обсуждение. Вместе с тем анализ среднеквадратичной длительности импульса можно провести аналитически безотносительно к порядку дисперсии среды и формы начального импульса.

Второе приближение теории дисперсии; аналогия с дифракцией световых пучков. В этом приближении распространение светового импульса описывается параболическим уравнением (1.1.14), имеющим решение (1.1.15). Напомним, что уравнению (1.1.14) соответствует аппроксимация дисперсионных свойств среды характеристикой вида

Значение соответствует нормальной дисперсии групповой скорости, а аномальной дисперсии.

Обсудим распространение спектрально-ограниченных импульсов. Наглядные аналитические результаты получаются для гауссовских импульсов (1.1.25). Согласно (1.1.15) комплексная амплитуда импульса в среде

где

здесь и далее время в бегущей системе координат обозначаем через Длину называют длиной дисперсионного расплывания волнового пакета или дисперсионной длиной.

Длительность гауссовского импульса в диспергирующей среде нарастает с расстоянием:

Вместе с тем, как отмечалось выше, в линейной среде ширина спектра волнового пакета сохраняется. Уменьшение же вклада в спектр модуляции огибающей компенсируется появлением фазовой (частотной) модуляции. Причем скорость изменения частоты в соответствии с (2) равна

Таким образом, в диспергирующей среде спектрально-ограниченный импульс преобразуется в импульс с линейной частотной модуляцией; знак ЧМ определяется знаком Графики функций (3) и (4) показаны кривыми 1 на рис. 1.3.

Из (3), (4) видно, что изменение параметров гауссовского импульса в среде зависит как от дисперсии групповой скорости так и от

первоначальной длительности которые совместно определяют дисперсионную длину (2). Зависимости от длины волны для воды и ряда кристаллов, используемых в нелинейной оптике, изображены на рис. 1.4.

Рис. 1.3. Относительные длительность и скорость изменения частоты светового импульса в зависимости от пройденного расстояния в диспергирующей линейной среде: 1 — импульс без ФМ, ; 2 - ФМ импульс, импульс,

Если речь идет о распространении короткого импульса вблизи резонанса (например, в газах), то значение нетрудно найти, пользуясь известной формулой Зельмейера.

Выражение (2) совпадает с формулой, описывающей дифракцию плоской волны на щели. Поэтому поведение спектрально-ограниченного импульса в диспергирующей среде аналогично дифракции двумерного светового пучка. Дисперсионная длина полностью аналогична дифракционной длине светового пучка радиус пучка).

Рис. 1.4. Длина дисперсионного расплывания для воды (а) и кристаллов (б) в зависимости от средней длины волны сверхкороткого импульса длительностью [19]. Приведена также зависимость показателя преломления воды

Имеются, однако, и определенные различия между поведением волновых пучков и пакетов. Помимо того, что в реальных ситуациях имеют дело с трехмерными световыми пучками, дисперсионный параметр являющийся аналогом может быть отрицательным. В

связи с этим в отличие от дифрагирующих пучков с положительной кривизной волнового фронта, световые импульсы могут при распространении приобретать как положительную, так и отрицательную скорость изменения частоты (см. (4)).

По аналогии с дифракцией светового пучка при дисперсионном расплывании светового импульса выделяют ближнюю зону и дальнюю (фраунгоферову) зону импульса В первом случае длительность импульса а во втором пропорциональна длине

Из (3) нетрудно найти начальную длительность при которой на расстоянии от входа в диспергирующую среду импульс имеет минимальную длительность где Для более коротких входных импульсов дисперсионное расплывание сказывается сильнее.

В случае гауссовского импульса форма огибающей во втором приближении теории дисперсии при распространении сохраняется; для импульса любой другой формы — изменяется (§ 1.4). Поскольку в лоследнем случае наглядное выражение для трансформации огибающей импульса получить не удается, обычно ограничиваются аналитическим расчетом среднеквадратичной длительности Так, например, для супергауссовского импульса (1.1.30) без ФМ [53]

где тско дается (1.1.32). При выражение (6) совпадает с (3). Для имеем

Отсюда следует, что супергауссовский импульс в диспергирующей среде может расплываться значительно сильнее, нежели гауссовский. Дисперсионное расплывание импульса увеличивается с приближением его начальной формы к прямоугольной.

Третье и высшие приближения теории дисперсии. В тех случаях, когда дисперсионный параметр или весьма мал, для учета дисперсионного расплывания необходимо исходить из более высокого приближения теории дисперсии, т. е. принимать во внимание уже параметр В третьем приближении теории дисперсии распространение импульса в соответствии с (1.1.10) описывается уравнением бегущей системе координат)

Решение этого уравнения

где

— функция Грина. Амплитуда даже для начального гауссовского импульса аналитически может быть найдена только приближенно при методом перевала [111. Поэтому обратимся к результатам численного расчета огибающей представленным на рис. 1.5, кривые на котором построены для различных значений дисперсионных параметров

Из рис. 1.5 следует, что кубичная дисперсия среды при приводит к модуляции хвоста импульса, фронт остается гладким; в случае фронт и хвост меняются ролями.

Рис. 1.5. (см. скан) Трансформация огибающей гауссовского импульса (а) в диспергирующей линейной среде при значении параметров [20]. Огибающая импульса нормирована на максимальное значение

Импульс в среде становится асимметричным, его «центр тяжести» смещается см. (1.1.20а)).

Интенсивность светового импульса в диспергирующей среде можно выразить через функцию имеющую смысл фурье-спектра интенсивности:

В [20] показано, что для исходного гауссовского импульса

Среднеквадратичная длительность (1.1.19) дается через функцию выражением [201

Подставляя (12) в (13), получаем

где Это выражение можно записать как

Дисперсионная длина

При результат (14) совпадает с (3).

С точки зрения интегральных характеристик импульса можно ввести обобщенную дисперсионную длину выражение (14) записать в виде

где

Из (17) нетрудно определить относительный вклад квадратичной и кубичной дисперсий в расплывание импульса. С уменьшением роль дисперсии высшего порядка возрастает. Условием малости эффекта, связанного с квадратичной дисперсией, является

При этом в дальней зоне длительность импульса обратно пропорциональна квадрату его начальной длительности:

Следует также отметить, что зависимость от расстояния в третьем приближении теории дисперсии (14) аналогична таковой во втором приближении. Минимальная среднеквадратичная длительность импульса на расстоянии L в случае равна где оптимальная входная длительность

На основе уравнения (1.1.10) можно проанализировать влияние дисперсии среды на распространение импульса в сколь угодно

высоком приближении теории дисперсии. Естественно, что высшие приближения несколько уточняют количественно картину дисперсионного расплывания, сохраняя ее основные черты, выявленные во втором и третьем приближениях. Общий случай безотносительно к порядку приближения теории дисперсии и формы импульса рассмотрен в [31, 54]. Авторы этих работ исходят из отличающегося от (1.1.10) уравнения; структурно в нем отсутствует последнее слагаемое в фигурных скобках (1.1.10). В [31] установлены инварианты распространения импульса в диспергирующей среде. Таковыми являются «площадь» импульса, его энергия, спектральная плотность и ширина спектра, а также величины вида

В [54] показано, что независимо от порядка дисперсии среды и формы импульса его среднеквадратичная длительность в среде изменяется по параболическому закону.

1
Оглавление
email@scask.ru