§ 2.4. Ударные волны огибающей

Картина временной импульса неизменной формы, на которой базируются изложенные выше представления, соответствует реальной ситуации лишь на первых этапах самовоздействия. Форму фазово-модулированного импульса можно считать неизменной только до тех пор, пока справедливо первое приближение теории дисперсии. Каково поведение уширенного спектра, огибающей и фазы при одновременном наличии и дисперсии групповой скорости? Эта проблема обсуждается в § 2.6 и гл. 4 и 5.

Здесь мы хотим, однако, обратить внимание, что в особых случаях существенное нелинейное искажение формы огибающей возможно и в отсутствие дисперсии. Речь пойдет об ударных волнах огибающей, возникающих при распространении достаточно мощных коротких импульсов в нелинейной среде, корректное описание которых требует учета волновой нестационарности в первом порядке по параметру Для анализа обсуждаемого эффекта исходным является

уравнение

которое записано в бегущей системе координат и где Наличие дополнительного слагаемого в (1) приводит, как отмечалось в § 2.2, к зависимости групповой скорости от интенсивности распространяющегося импульса. На это обстоятельство впервые обратил внимание Островский [11].

Нелинейная добавка к групповой скорости для среды с приводит к укручению хвоста импульса при его распространении. В случае происходит укручение фронта импульса - ситуация во многом аналогичная генерации ударных волн в акустике. Накапливающиеся с расстоянием изменения формы импульса могут быть столь сильными, что возможно образование ударной волны огибающей.

Обратимся к конкретному анализу. Переходя к огибающей и фазе из (3), получаем систему

Уравнение (2) представляет собой уравнение простой волны. В теории волн в слабо диспергирующих нелинейных средах (нелинейные линии передачи, нелинейная акустика), основанной на развитом Хохловым [12] методе медленно меняющегося профиля, уравнение типа (2) получается для самого поля. Эта аналогия позволяет ряд результатов для простых волн, например, из области нелинейной акустики [13], перенести на простые волны огибающей.

Деформация огибающей. Решение (2) имеет неявный вид

Проанализируем (4) для гауссовского импульса, для которого

Для построения формы импульса в нелинейной среде последнее соотношение удобно представить как

где знак минус относится к фронту импульса, а плюс — к хвосту. Изменение формы импульса при распространении иллюстрирует рис. 2.7. Видно, что импульс деформируется: фронт становится более пологим, а хвост, напротив, — более крутым. Происходит «самообострение» фронта (в английской литературе принят термин self-steepening)

В соответствии с выражением (5) максимум импульса распространяется со скоростью меньшей групповой скорости и в среде. Укручение хвоста импульса в конечном итоге приводит к образованию разрыва, для которого формируется ударная волна огибающей. Это происходит на расстоянии

которое называют длиной образования разрыва Длина приближенно соответствует расстоянию, на котором максимум импульса смещается на его полуширину.

Рис. 2.7. Форма гауссовского импульса (1) в нелинейной среде (2) при [14]

Приведем оценку Для и импульса длительностью с максимальной интенсивностью длина Для среды с нелинейностью и импульса с длина см. Эти оценки показывают, что рассматриваемый эффект может наблюдаться в эксперименте.

С учетом затухания для можно получить

Таким образом, наличие затухания «затягивает» образование ударной волны. Очевидно, что при ударная волна не образуется. Соответствующее критическое значение затухания

Отметим, что ударные волны огибающей в отсутствие дисперсии групповой скорости теоретически изучались в [14—17], а при наличии дисперсии и релаксации нелинейности в [11, 14, 18, 19]. Первые попытки экспериментального наблюдения ударных волн огибающих в оптике были сделаны в конце 60-х годов [7]. К сожалению, однозначная интерпретация экспериментальных данных была затруднительна из-за существенного влияния пространственной самофокусировки.

Гришковский и др. [22] непосредственно наблюдали искажение формы 10 не импульса лазера на красителе в парах обусловленное формированием ударной волны огибающей, фазовой самомодуляцией, дисперсией линейной и нелинейной частей показателя преломления (рис. 2.8). Для пико- и фемтосекундных импульсов прямые наблюдения формы пока невозможны, информацию о характере самовоздействия в этом диапазоне длительностей можно получить из спектра. Вид спектрального уширения в условиях проявления описываемой уравнениями (2), (3) нелинейной добавки к групповой скорости отличается от такового при безынерционной Проиллюстрируем сказанное приближенным расчетом, выполненным для неизменной формы импульса см. также [23]).

Уширение спектра. Запишем огибающую в виде тогда решение (3) имеет вид

В соответствии с (10) относительное изменение частоты

и антистоксову бсоах области определяется соотношением

где Максимальные смещения частоты в стоксову

Рис. 2.8. (см. скан) Самообострение огибающей светового импульса (экспериментальные данные [22]). Входные импульсы — слева, выходные — справа. Масштаб по оси абсцисс — 5 не на деление. Осциллограммы соответствуют различным отстройкам перестраиваемого лазера от частоты резонанса сор линии атома

При из (12) следует результат совпадающий с таковым из теории фазовой самомодуляции § 2.3 — уширения спектра симметричны относительно частоты

В случае максимальное уширение в стоксову область а в антистоксову — Следовательно, при спектральное распределение импульса становится сильно асимметричным, эта асимметрия связана с наличием слагаемого в (3). Авторы [23] с помощью развитой теории интерпретировали данные экспериментов, выполненных Форком и др. [-фемтосекунд-ный импульс, излучаемый на длине за счет самовоздействия генерировал континуум от 190 до Лазерное излучение фокусировали в пленку, содержащую этиленгликоль, и при интенсивности наблюдали уширение спектра в стоксову и антистоксову области.

Авторы [26] привлекали картину формирования ударных волн огибающих для интерпретации уширений спектра импульсов в капиллярных волоконных световодах. В [27] выполнен расчет спектра сверхкоротких импульсов в нелинейной среде при учете конечного времени установления нелинейной добавки к групповой скорости.

В основе изложенной в настоящем параграфе теории уширения спектра и развитого в [23] подхода, лежит метод медленно меняющихся амплитуд. Ясно, что результаты такой теории неприменимы, когда длительность импульса составляет несколько периодов несущей частоты. В этом случае необходимо решать непосредственно уравнение (2.2.1). Заметим, что в [24] это уравнение решено методом многих масштабов и получено как изменение формы огибающей импульса, так и асимметричное уширение спектра.