§ 1.6. Дифракция сверхкоротких импульсов

Пространственная ограниченность реальных световых импульсов привносит новые явления в процесс их распространения и преобразования оптическими системами. Один из таких примеров разобран в предыдущем параграфе — отражение пространственно-ограниченного лазерного импульса от дифракционной решетки. Приведенные там результаты справедливы для сравнительно длинных импульсов, дифрагирующих как целое. Для лазерных импульсов длительностью в несколько периодов существенным может быть эффект неравенства дифракционных длин разных спектральных компонент импульса [34—36, 65]. Действительно, высокочастотные компоненты импульса дифрагируют медленнее, чем низкочастотные. Поэтому даже в недиспергирующей среде при не слишком малых значениях следует ожидать, как отмечено в [15], деформации светового импульса. Этот же эффект может проявляться при фокусировке светового импульса [37, 70]. Обе упомянутые задачи проанализированы в настоящем параграфе.

Эффекты пространственной и временной модуляций. Обобщенное уравнение (1.1.14), описывающее распространение короткого светового импульса с учетом ограниченности его поперечных пространственных размеров и явления дифракции, имеет вид (в бегущей системе координат

где последнее слагаемое описывает взаимное влияние пространственных и временных параметров излучения [15].

Рассмотрим распространение оптического излучения с начальными гауссовской огибающей импульса и гауссовской формой пучка:

Решение (1) для фурье-спектра

где фурье-образ

Из (2) следует, что в силу различия волновых чисел для разных спектральных компонент дифракционные длины неодинаковы.

Картина взаимовлияния пространственных и временных характеристик излучения друг на друга в диспергирующих средах, вообще говоря, довольно сложная. Чтобы проанализировать искажение импульса, обусловленное только пространственной ограниченностью светового пучка, будем полагать Именно такая ситуация обсуждалась в [34—36]. В этом случае фурье-преобразование выражения (2) принимает вид

Откуда видно, что изменение структуры импульса обусловлено запаздыванием его прихода в заданную точку пространства из-за искривления волнового фронта. В [36] выполнен численный расчет временной огибающей (3) на длинах Полученные данные свидетельствуют о заметном увеличении длительности фемтосекундного импульса на периферии пучка (начальная длительность составляла Эта тенденция сохраняется и в дальней зоне пучка для которой

где

Согласно (4) в дальней зоне пучок становится фазово-модулированным в пространстве и во времени, его форма отличается от гауссовской. Огибающая импульса — гауссовская с длительностью (5), которая увеличивается с ростом Пространственное смещение максимума импульса в поперечном сечении пучка описывается параболой.

Фокусировка коротких световых импульсов. Изменения формы световых импульсов короткой длительности могут возникать при их фокусировке. В [70] рассмотрена фокусировка импульса линзой, а в [37] — зонной пластинкой. Обычно в экспериментах короткие световые импульсы фокусируются линзой, поэтому здесь мы остановимся на этой задаче.

Общепринято тонкую сферическую линзу рассматривать как оптическую систему с коэффициентами передачи где фокусное расстояние линзы. Однако такая модель не является адекватной при фокусировке световых импульсов очень короткой длительности, поскольку продольный пространственный размер импульса гораздо меньше толщины линзы и ее уже нельзя считать тонкой. Необходимо учитывать различие времени группового запаздывания вдоль различных лучей при проходе через линзу.

Предположим, что пучок задан непосредственно перед линзой. Если время группового запаздывания в центре линзы то для луча с координатой в пренебрежении дисперсией материала линзы Таким образом, прямо на выходе линзы комплексная амплитуда излучения для рассматриваемой модели

Для описания процесса распространения импульса за линзой нужно исходить из уравнения (1). Пренебрегая, как и выше, дисперсией групповой скорость в среде, для амплитуды в фокальной плоскости линзы получим выражение аналогичное (4), в котором следует заменить на и скорость и на с. Аналогичная замена в (5) дает значение длительности импульса в фокусе линзы:

Из сказанного ясно, что особенности поведения сверхкороткого импульса в фокусе линзы точно такие же, как и в дальней зоне пучка. Такое совпадение вполне естественнно.

Время определяет минимальную длительность импульса в фокусе линзы. Формула (7) справедлива в первом приближении теории дисперсии. Заметим, что для импульсов длительностью в несколько фемтосекунд существенным оказывается дисперсионное расплывание в материале линзы, описываемое вторым приближением.

Форма пучка в фокусе линзы отличается от гауссовской, его радиус [70]

де радиус пучка в фокусе для непрерывного излучения. Видно, что заметное уширение пучка происходит, когда длительность импульса приближается к периоду светового колебания.