§ 5.9. Нелинейная фильтрация шумовых импульсов; статистика солитонов

В настоящем параграфе мы сосредоточим внимание на статистических задачах теории оптических солитонов. Интерес к этой проблематике связан с решением таких практически важных вопросов, как исследование влияния флуктуаций параметров исходных импульсов на предельную скорость передачи информации в солитонном режиме и использование световодов в качестве нелинейных фильтров, улучшающих пространственно-временную структуру излучения. С точки зрения стохастической теории нелинейных волн принципиальное значение имеет вопрос о возможности формирования солитонов из оптического шума и о взаимосвязи статистических характеристик исходного сигнала и сформировавшихся солитонов.

Начнем рассмотрение со случая, когда начальные данные для уравнения (5.8.1) представимы в виде суперпозиции «сигнал

где соответствует детерминированной, а случайной составляющей, о — параметр, характеризующий уровень шума. Напомним, что в аналогичной постановке эта задача рассматривалась в § 4.5 в связи с исследованием самовоздействия и компрессии импульсов частично когерентного излучения в спектральной области, соответствующей нормальной дисперсии групповой скорости. По аналогии с § 4.5 обратимся к анализу изменения интегральных характеристик излучения в случае малых флуктуаций

В этом приближении среднеквадратичная длительность импульса, усредненная по ансамблю реализаций начальных данных, представима в виде линейной суперпозиции детерминированной и шумовой составляющих,

Функции удовлетворяют системе уравнений (ср. с (4.5.7))

Точкой обозначено дифференцирование по Из (2) следует, что в рамках рассматриваемого приближения шумовая компонента сигнала не оказывает влияния на среднеквадратичную длительность детерминированной компоненты. Обратное влияние (второй член в правой части

последнего уравнения) более существенно: оно приводит к замедлению темпа дисперсионного расплывания шумовой составляющей импульса.

Конкретизируем ситуацию, взяв в виде

где комплексный стационарный гауссовский шум с нулевым средним, единичной дисперсией и гауссовской корреляционной функцией.

Рис. 5.22. Нелинейная фильтрация импульса со случайной начальной фазовой модуляцией; изображены профили интенсивности в различных сечениях световода, указаны расстояния в дисперсионных длинах

Подставим (3) в правую часть (2), полагая В результате уравнения (2) примут вид

Непосредственно проверяется, что

Отсюда следует, что солитонная составляющая подавляет дисперсионное расплывание «медленных» флуктуаций (напомним, что

время корреляции здесь выражено в единицах начальной длительности импульса). Для быстрых флуктуаций с среднеквадратичная длительность шумовой составляющей растет с по квадратичному закону

Указанные закономерности имеют место на расстояниях не превышающих характерную длину самовоздействия, так как правая часть (2) вычислялась в точке

Чтобы проследить динамику самовоздействия шумовой компоненты на больших расстояниях, обратимся к результатам математического моделирования, основанного на численном интегрировании нелинейного уравнения Шредингера [53]. На рис. 5.22 изображены профили интенсивности при различных для импульса со случайной фазовой модуляцией

где фаза распределена по гауссовскому закону с нулевым средним, дисперсией и временем корреляции при

Рис. 5.23. Зависимость суммарной энергии солитонной и шумовой компонент в пределах заданного временного интервала при различных начальных временах корреляции фазовых флуктуаций:

Из приведенных профилей интенсивности видно, что на начальном этапе распространения происходит быстрая трансформация фазовых флуктуаций в амплитудные. Средняя длительность пичков соответствует величине тк. В дальнейшем происходит сравнительно быстрая фильтрация солитонной составляющей за счет дисперсионного расплывания шумовой компоненты. При импульс превращается в солитон. Отметим точное совпадение амплитуды солитона, полученной в результате прямого интегрирования нелинейного уравнения Шредингера и вычисленной методом обратной задачи рассеяния для той же реализации начальных данных (6).

На рис. 5.23 приведена зависимость суммарной энергии солитонной и шумовой компоненты на временном интервале

где Вычисления проведены для трех реализаций начальных данных (6), отличающихся значением времени корреляции тк. Заметное на рисунке уменьшение энергии в пределах выделенного временного интервала связано с дисперсионным расплыванием шумовой компоненты и ее уходом из интервала интегрирования. Видно, что длина световода, которую нужно выбрать для осуществления эффективной фильтрации солитонной составляющей, убывает по мере уменьшения начального времени корреляции тк. Полученный результат весьма важен с практической точки зрения, так как он указывает на возможность формирования оптических солитонов из импульсов частично когерентного излучения.

Естественно, что параметры солитона — амплитуда к и скорость V, изменяются от реализации к реализации, т. е. являются случайными величинами. Возникает задача об установлении взаимосвязи статистических характеристик начальных данных и сформировавшихся при солитонов. Анализ этой взаимосвязи можно провести только на основе аппарата обратной задачи рассеяния [51, 541.

В основу анализа положим полученную в [36] формулу, связывающую вариации параметров солитона с малыми возмущениями начальных данных при Без ограничения общности допустим, что солитонная составляющая начальных данных имеет вид

Тогда обусловленные возмущением вариации параметров солитона представляются следующим образом:

Рассмотрим ряд важных частных случаев.

Флуктуации амплитуды исходного импульса. Пусть

где вещественный случайный процесс с временем корреляции тк. Тогда из (7) следует, что флуктуирует только амплитуда сформировавшегося солитона,

Для медленных флуктуации можно представить рядом со случайными коэффициентами:

Подставляя это разложение в (9), мы убеждаемся, что линейный по член разложения не вносит вклада в изменение амплитуды сформировавшегося солитона. Случайные изменения коэффициента приводят к вариациям амплитуды

Волновой пакет на выходе световода длиной имеет огибающую

Если случайная амплитуда имеет гауссовское распределение, то функция распределения также с хорошей точностью описывается гауссовской функцией, стандартное отклонение флуктуаций удваивается:

Флуктуации фазы. Рассмотрим случайную фазовую модуляцию вида (6), где как и прежде, вещественный гауссовский случайный процесс с временем корреляции тк. Тогда

Для медленных флуктуаций справедливо разложение, аналогичное (10):

Подставляя (14) в (7), легко убедиться, что случайная составляющая фазы не изменяет скорость и амплитуду солитона, а линейная по составляющая приводит к их вариациям:

Отсюда следует, что при вариации скорости имеют первый порядок малости, а вариации амплитуды второй.

Таким образом, выходной импульс при представляет собой возмущенный солитон

Если плотность распределения случайного коэффициента является гауссовской, то и распределение скорости описывается тем же законом. Стандартные отклонения параметров совпадают.

Нестационарный амплитудно-фазовый шум. Рассмотрим более общий случай начальных данных вида (3), где стационарный комплексный гауссовский шум. Из подстановки этих начальных условий в (7) непосредственно следует, что флуктуации амплитуды определяются вещественной частью шума а флуктуации скорости — мнимой Так как то средние значения вариаций Для дисперсий и можно получить [54] следующие выражения:

где корреляционная функция шума. Анализ полученных формул показывает, что, во-первых, дисперсии флуктуаций и прямо пропорциональны дисперсии шума во-вторых, дисперсия амплитуды солитона монотонно возрастает с увеличением начального времени корреляции тк и тенденцией к насыщению при в-третьих, флуктуации скорости при растут линейно, при достигают максимума, а при убывают до нуля. Эти закономерности иллюстрируются рисунком 5.24. Заметим, что приведенные графики относятся к случаю гауссовской корреляционной функции их обобщение на случай произвольной не вызывает затруднений.

Рис. 5.24. Зависимость приведенной дисперсии флуктуаций параметров сформировавшихся солитонов от времени корреляции начальных возмущений: флуктуации амплитуды; флуктуации скорости (сплошные линии — расчеты по методу возмущений, точки — численный эксперимент [54])

Гораздо более сложным оказывается исследование функций распределения и их моментов в случае больших флуктуаций исходного сигнала, т. е. импульсов типа вспышек оптического шума. В этой ситуации из конкретной реализации начальных данных при может сформироваться как один, так и несколько солитонов или импульс, испытывающий дисперсионное расплывание. Исследование подобных режимов представляет интерес при анализе требований, предъявляемых к источникам сигналов для солитонных линий связи, и дает такие важные характеристики как вероятность пропуска сигнала (отсутствие солитона в данной реализации) или ложного срабатывания (два или более солитона из одного лазерного импульса). Эти вопросы подробно рассмотрены в [54]. Здесь мы ограничимся обсуждением некоторых численных экспериментов.

Методика численного моделирования основана на статистической оценке функции распределения и ее моментов по методу Монте-Карло. Для выборки из реализаций начальных данных (3) вычислялись солитонные спектры Оценивались средние по ансамблю значения , дисперсии этих величин и строились гистограммы, дающие представление о функции распределения. Статистический анализ гистограмм по критериям Неймана — Пирсона и Колмогорова позволяет проверить гипотезу о характере распределения и установить уровень ее значимости.

На рис. 5.25 представлены гистограммы случайных амплитуд сформировавшихся при солитонов для начальных данных (3) (модулированный гауссовский шум). Значение времени корреляции

фиксировано, варьируемым параметром является дисперсия шума число реализаций Сопоставление гистограмм, вычисленных при различных дисперсиях шума показывает, что для распределения близки к гауссовским.

Рис. 5.25. (см. скан) Гистограммы распределений случайных амплитуд сформировавшихся солитонов при различных дисперсиях шума [54]

Зависимости средней амплитуды х, стандартных отклонений и от а изображены на рис. 5.26. Приведенные кривые показывают, что линейные формулы теории возмущений для хорошо согласуются с данными численных экспериментов при В области

мы выходим за пределы применимости линейной теории возмущений (рис. 5.26). Отметим очевидные отклонения от гауссовского закона, связанные с нарушением односолитонного режима. Интересно, что распределение скоростей во всем рассмотренном диапазоне изменения а хорош аппроксимируется гауссовской функцией.

В качестве иллюстрации практического приложения полученных закономерностей рассмотрим передачу солитонных импульсов по световоду длиной с площадью сердцевины Оценим временной разброс регистрируемых приемником солитонов в случае, когда энергетическое отношение сигнал/шум шум гауссовский (3) с Задержка отдельного импульса, выраженная в единицах его длительности, равна отношению длины световода к дисперсионной длине умноженному на стандартное отклонение флуктуаций скорости:

Рис. 5.26. Расчетные зависимости среднего значения амплитуды х сформировавшихся солитонов, а также стандартных отклонений амплитуды и скорости от а (сплошные линии — численный эксперимент, штриховые — расчет по теории возмущений) [54]

Определяя из графика на рис. 5.26 и учитывая, что при выбранных значениях параметров получаем Относительная величина флуктуаций энергии регистрируемых солитонов составит

Таким образом, комплексный подход, включающий приближенные аналитические оценки интегральных характеристик (5), теорию возмущений метода обратной задачи (7) и крупномасштабный численный эксперимент, позволяет дать полную статистическую картину самовоздействия шумовых импульсов и указать оптимальные режимы использования волоконных световодов в качестве нелинейных фильтров.