§ 2.5. Самофокусировка сверхкоротких импульсов

Предыдущее рассмотрение относится к нелинейному распространению плоских волновых пакетов. Вместе с тем анализ пространственно модулированных сверхкоротких импульсов в линейных средах (§ 1.6) показал усложнение картины распространения по сравнению с плоской волной. Что нового может привнести пространственная модуляция коротких импульсов в явление временого самовоздействия? Ответ на этот вопрос — цель настоящего параграфа.

Комплексная амплитуда волнового пакета в первом приближении линейной теории дисперсии и нулевом приближении по волновой нестационарности удовлетворяет уравнению

которое записано в бегущей системе координат. Для случая инерционной нелинейности есть функционал, задаваемый (2.2.9).

Стационарная самофокусировка. В этом случае вместо (1) имеем

Обратимся для наглядности к решению, получаемому для коллимированных гауссовских пучков,

в так называемом безаберрационном приближении. Полагая, что в нелинейной среде пучок сохраняет свою форму, решение (2) ищем в виде

Подставляем (4) в (2). В приосевом приближении когда в нелинейном члене производится замена

приравнивая нулю коэффициенты перед различными степенями получаем [33]

Здесь характерные длины:

Функция характеризует ширину пучка, фазовую самомодуляцию в пространстве. Решением (5) является

где полная мощность пучка,

— критическая мощность (X — длина волны в вакууме). Видно, что при дифракция и нелинейная рефракция уравновешиваются и радиус пучка остается постоянным. Если же нелинейная рефракция превалирует над дифракцией, в результате пучок самофокусируется [29]. Фокальную длину распределенной нелинейной линзы (длину самофокусировки) можно найти из условия

Подчеркнем, что этот результат относится только к приосевой части пучка: выражение (4) не удовлетворяет строгому уравнению (2). Более точное решение можно получить численными методами. При этом гауссовский пучок (3), согласно [28], при фокусируется на расстоянии

где

Строгий анализ самофокусировки гауссовского пучка обнаруживает качественное отличие от картины приосевого приближения: пучок не фокусируется в точку как целое, периферийные лучи пересекают ось пучка на больших расстояниях, чем приосевые. В поперечном сечении пучка аберрации проявляются в виде кольцевой структуры распределения интенсивности.

Из (10), (11) следует, что темп самофокусировки немонотонно зависит от исходного радиуса пучка. Поэтому существует оптимальный радиус аопг, при котором длина минимальна. Из условия находим

Выражение (12) для йопх с точностью до коэффициента совпадает с полученным методом возмущений характерным масштабом неоднородности, имеющей максимальный инкремент по (см. [30] и § 2.8). Наличие такого масштаба играет существенную роль при самофокусировке пучков со сложным амплитудным профилем, подчеркивая неоднородности размером В результате самофокусирующиеся пучки оказываются неустойчивыми по отношению к поперечным возмущениям. В средах с (например, для лазерного излучения с и интенсивностью Увеличение интенсивности лазерного излучения приводит к уменьшению размера неоднородностей йопт.

Квазистатическая самофокусировка. Такой процесс происходит при длительности импульса гораздо больше времени установления нелинейности и описывается уравнением (2), в которое бегущее время входит как параметр; при этом заменяется на и на Как следствие длина самофокусировки становится функцией времени — возникает движение фокальной точки. В безаберрационном приближении

Представление о движущихся фокусах впервые было развито Луговым и Прохоровым [31]. Самофокусируется та часть импульса, для которой мощность Временная диаграмма движения фокусов показана на рис. 2.9. Для времени установления нелинейности с модель движущихся фокусов применима вплоть до субнаносекундных импульсов.

Согласно (4), (8) интенсивность импульса в безаберрационном приближении

где

Из (14) нетрудно найти, что в предфокальной области (или при слабой фокусировке) длительность импульса

Отсюда видна тенденция к сжатию импульса с ростом и увеличением мощности пучка Наименьшая длительность, как и при фокусировке линзой, наблюдается в центре пучка, к его периферии она растет. Очевидно, что в области движущихся фокусов уменьшение может быть значительным. В типичных случаях значение длительности сжатых таким путем импульсов составляет [10,42].

Рис. 2.9. Квазистатическая картина движения фокальной точки самофокусирующегося пучка с относительно медленной модуляцией амплитуды во времени [32]: а — временной ход мощности импульса; положение фокальной точки

Картина фазовой самомодуляции при квазистатической самофокусировке сложнее, чем рассмотренная в § 2.3. Помимо того, что происходит сжатие импульса, фазовый набег меняется в поперечном сечении пучка. В результате ширина спектра значительно превышает ширину, вычисленную по (2.3.11) для импульса в отсутствие самофокусировки.

Интересные результаты получены в [41] при численном расчете квазистатической самофокусировки супергауссовских пучков. Область движения фокуса зависит от вида пространственного распределения и достигает максимального значения при гауссовской форме. Показано также, что самофокусировка пучка в совокупности с пространственной фильтрацией в оптической системе позволяет повысить контраст импульса и управлять формой огибающей последовательности импульсов.

В заключение рассмотрения модели движущихся фокусов отметим, что с ее помощью удалось преодолеть многие трудности интерпретации самофокусировки импульсов. Для более детального знакомства с этим вопросом можно обратиться к [5, 7, 31—34].

Нестационарная самофокусировка. При длительностях импульсов сравнимых с для анализа самофокусировки нужно исходить из уравнений (1) и (2.2.9). Здесь самовоздействия фронта и хвоста импульса существенно различаются. На временах нелинейный отклик (2.2.9) не успевает установиться, поэтому фронт распространяется так же, как в линейной среде. Напротив, хвост импульса может сильно

самофокусироваться. Теория нестационарной самофокусировки была развита Ахмановым, Сухоруковым и Хохловым [35].

В безаберрационном приближении решение (1) по-прежнему можно искать в виде (4), учитывая (2.2.9) и зависимость где — форма импульса. Тогда, например, для получаем (ср. с (5))

Решение (17) определяет временную и пространственную эволюцию радиуса пучка. Качественно картина нестационарной самофокусировки изображена на рис. 2.10, где показано как распространяются различные части импульса. Части дифрагируют в линейной среде;

Рис. 2.10. Картина нестационарной самофокусировки короткого светового импульса [33]. На переднем фронте нелинейный отклик еще не установился и происходит линейное распространение импульса, задняя часть импульса сжимается за счет нелинейной рефракции: а — временной ход мощности импульса; форма пучка

для соответствующих им моментов времени значение чрезвычайно мало и самофокусировка отсутствует Для частей величина достаточна, чтобы привести к самофокусировке. В результате пучок трансформируется, приобретая форму рупора, а на хвосте импульса образуется оптический волновод [1].

Стационарный режим нелинейного распространения в случае может реализоваться при больших временах. Действительно, из (17) имеем

Если для простоты полагать прямоугольной функцией длительностью то решением (18) при является Чтобы выявить динамику оптического волновода, примем во внимание слабую зависимость от времени. Тогда получаем выражение

которое описывает поведение как фронта так и хвоста импульса. Определяя ширину оптического волновода по имеем соотношение

связывающее длину волновода со временем его развития

В соответствии с (20) скорость распространения волновода

меньше групповой скорости и импульса. Поэтому длина оптического волновода будет меньше пройденного волной расстояния.

Рис. 2.11. Нормированные формы импульса (а) и спектра (б) на оси пучка при нестационарной самофокусировке на различных расстояниях [37]. Кривые рассчитаны для при максимальной интенсивности радиусе пучка и длительности импульса время установления нелинейности —

Наиболее яркая, волноводная часть пучка при наблюдении проявляется как нить. Однако на расстояниях, значительно превосходящих пространственный масштаб дифракция приводит к нарушению волноводного режима распространения.

Рассмотренная выше качественная картина нестационарной самофокусировки подтверждается результатами численного анализа [36—38]. Исследовались изменения во времени радиуса пучка [37, 38], формы импульса и спектра [36—38]. Установлено, что по мере распространения в нелинейной среде первоначально симметричный импульс становится асимметричным с более крутым хвостом, и на

относительно больших длинах может появиться модуляция огибающей. Гораздо более существенные изменения при нестационарной самофоку. сировке претерпевает спектр импульса, который уширяется в стоксову область. Сказанное иллюстрируется графиками на рис. 2.11, рассчитанными для и входного пучка с радиусом и максимальной интенсивностью полная ширина импульса по половинному уровню составляла

Экспериментальные исследования по нестационарной самофокусировке выполнены в работах [39, 40]. Опыты проводились с импульсами длительностью 10 не излучения рубинового лазера. В качестве нелинейной среды использовались жидкие кристаллы [39] и [40], что позволило авторам [401 с помощью изменения температуры кристалла менять время в широком диапазоне; отношение изменялось от 0,21 до 11,3. Режим самофокусировки таким образом варьировался от нестационарного до квазистатического. Полученные результаты эксперимента согласуются с изложенными теоретическими представлениями.