§ 3.4. Генерация суммарных частот; параметрические солитоны

Материал этого параграфа самым тесным образом связан с материалом § 3.2 — процесс сложения частот во многом аналогичен вырожденному взаимодействию, т. е. ГВГ. Однако если речь идет о сложении частот сверхкоротких импульсов, то определенная специфика может проявиться в связи с различием групповых скоростей смешиваемых волн. Поэтому мы кратко приведем результаты, которые могут оказаться полезными при интерпретации экспериментальных данных. С принципиальной точки зрения особый интерес представляет случай, когда интенсивности смешиваемых волн сильно отличаются. При этом в условиях группового запаздывания на суммарной частоте формируется солитон — ситуация, аналогичная модовому режиму усиления (§ 3.3).

Сложение частот сверхкоротких импульсов. Процесс генерации суммарной частоты при малой эффективности преобразования описывается уравнением вида (3.3.5)

в первом приближении теории дисперсии. Здесь амплитуды являются заданными функциями, Эффективность генерации суммарной частоты определяется в общем случае групповыми расстройками

и соответствующими им групповыми длинами. Так генерация практически прекращается, когда групповое запаздывание равно длительности входного импульса, распространяющегося с наибольшей скоростью. При групповая длина

ширина спектра на частоте

В рассматриваемом нестационарном режиме смешения при нормированная спектральная плотность на суммарной частоте равна (ср. с (3.2.22))

где нормированный спектр для квазистатического случая Если то

Здесь в отличие от (4) спектр на суммарной частоте не промодулирован. Из (5) нетрудно найти ширину спектра в существенно нестационарном режиме генерации. Приведем ее оценку для каскадной генерации обыкновенной волны пятой гармоники в кристалле кальцита обыкновенными смешиваемыми волнами основного излучения и третьей гармоники [19]. Для длин волн параметр и отношение ширин спектра генерируемого импульса в нестационарном и квазистатическом режимах равно 0,08. Другими словами, импульс на пятой гармонике оказывается длиннее исходного в 12 раз. Отметим, что теория нестационарного смешения частот развита в [19—21].

Эффекты, связанные с дисперсией групповых скоростей, рассмотрены в [20]. Совокупное влияние расстройки и дисперсии групповых скоростей приводит к уменьшению длительности импульса на суммарной частоте и увеличению его энергии.

Параметрические солитоны. Обратимся теперь к режиму высокоэффективного смешения коротких импульсов. Пусть накачкой является волна на частоте Тогда в первом приближении теории дисперсии рассматриваемый процесс описывается системой уравнений

с граничными условиями

Общее решение (6) может быть записано методом Римана; оно обстоятельно исследовано в [22, 23]. Здесь мы обсудим с физической точки зрения более интересный случай — генерацию параметрических соли-тонов. Если импульс накачки короткий, а импульс на частоте длинный то фронт генерируемого импульса частоты движется со скоростью а хвост — со скоростью С расстоянием длительность генерируемого импульса растет. При на суммарной частоте формируется стационарный импульс (квазисолитон), который можно рассчитать, полагая в Проанализируем решение, следуя [22]. В зависимости от соотношения групповых скоростей импульсов различают два режима: В первом

случае импульс накачки бежит быстрее или медленнее слабоинтенсивных волн.

Стационарная форма импульса при имеет вид

При нижний предел интегрирования нужно заменить на Если то амплитуда вне импульса накачки равна нулю — стационарный импульс заперт внутри импульса накачки. При амплитуда вне импульса накачки имеет постоянное значение, не зависящее от интенсивности накачки; стационарный импульс при этом имеет практически прямоугольную форму.

В случае импульс накачки распространяется с промежуточной скоростью или Здесь форма стационарного импульса в отличие от (7) гладкая:

Если то происходит насыщение амплитуды импульса. Параметрические квазисолитоны могут существовать и в поле ФМ импульсов накачки; подтверждающие это численные расчеты выполнены в [23].

При трехчастотных синхронных взаимодействиях волновых пакетов в квадратично-нелинейных средах, когда существенным становится расплывание волновых пакетов, могут существовать «истинные» солитоны [24]. При этом, как и в случае шредингеровских солитонов, дисперсионное расплывание импульсов компенсируется их нелинейным сжатием. Однако здесь захваченными оказываются импульсы на разных частотах — формируются многочастотные солитоны. Рождение, столкновение и распад параметрических многочастотных солитонов подробно изучены в [25] (см. также [106]).