ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Еще в 1857 г. Б. Риман в работе «Теория абелевых функций» показал, что конформная структура замкнутой римано-вой поверхности рода (или, что то же самое, класс ее конформной эквивалентности) зависит от комплексных параметров, которые он назвал модулями. (Собственно, Риман получил этот результат для классов бирациональной эквивалентности комплексных алгебраических кривых, но, как хорошо известно, эти классы соответствуют конформным классам произвольных «абстрактных» замкнутых римановых поверхностей.) Однако потребовалось более ста лет усилий крупнейших математиков, чтобы получить удовлетворительное решение проблемы модулей римановых поверхностей — описать структуру соответствующих пространств модулей.

Большую роль здесь сыграли идеи О. Тейхмюллера, который связал эту область с теорией экстремальных квазиконформных отображений. Результаты Тейхмюллера получили строгое обоснование и развитие значительно позже в работах Л. Альфорса, Л. Берса и других авторов. Они послужили, например, истоком чрезвычайно плодотворной концепции пространств деформаций комплексной (или иной) структуры многообразия. Теория пространств Тейхмюллера нашла самые разные приложения, в частности к решению некоторых чисто топологических проблем, а в последнее время обнаружились ее новые совершенно неожиданные применения в классической геометрической теории функций.

Топологический аспект теории пространств Тейхмюллера связан с описанием группы гомотопических (изотопических) классов диффеоморфизмов поверхностей конечного топологического типа, действующей (за небольшими исключениями) на соответствующем пространстве Тейхмюллера как его дискретная модулярная группа. Исследование последней имеет уже более чем полувековую историю и в первую очередь связано с именами Р. Фрике, Я. Нильсена и М. Дена.

В начале семидесятых годов новые глубокие идеи в эту область были внесены У. Тёрстоном, который наметил обширную и далеко идущую программу исследований. В основе подхода Тёрстона лежит его идея измеримых слоений. Открылась тесная связь топологии поверхностей с общими проблемами теории динамических систем, теории слоений и дифференциальной геометрии. Позднее Л. Берс установил, что классификацию Тёрстона диффеоморфизмов поверхности можно получить и методами теории квазиконформных отображений. Оказалось, что решение, на котором может достигаться минимум в соответствующей экстремальной проблеме, обладает определенными топологическими свойствами, близкими к свойствам аносовских диффеоморфизмов. Очень интересны также вопросы компактификации пространства Тейхмюллера,

на пути решения которых были открыты новые классы разрывных групп.

Предлагаемая вниманию читателей книга известного американского аналитика У. Абикофа, специалиста по теории римановых поверхностей и клейновым группам, дает очень хорошее и доступное изложение ряда классических и современных разделов теории римановых поверхностей и ее приложений, открывающих новые плодотворные связи теории функций с топологией, теорией динамических систем, алгебраической и дифференциальной геометриями.

Разумеется, книга освещает не все аспекты теории пространств Тейхмюллера. Автор почти не касается, например, вопросов, связанных с существованием комплексной структуры, совершенно не затрагивает связи деформаций структур римановых поверхностей с деформациями гиперболических структур трехмерных многообразий с краем; лишь упомянуты компактификации пространств Тейхмюллера. Как пишет сам автор, книга основана на его лекциях, прочитанных на семинаре по теории Тёрстона диффеоморфизмов поверхностей, причем в основном преобладает аналитический подход. Читатель, который заинтересуется топологическими и эргодическими вопросами теории, может обратиться к книге А. Фати и др. [32], дополняющей содержание данной книги и также написанной по материалам указанного семинара. При всем этом книга Абикофа хорошо подводит читателя к самым новым исследованиям; нужно отметить также, что вопросы, рассматриваемые во второй и особенно в третьей главах, в нашей литературе прежде не излагались. В заключительной части книги читатель найдет много нерешенных проблем. Книга вполне доступна студентам, освоившим курсы теории функций комплексного переменного и дифференциальной геометрии.

При переводе устранены замеченные неточности и опечатки. Некоторые места изложения автора требуют дополнительных пояснений; они даны в примечаниях в конце книги. Читатель, желающий подробнее изучить рассматриваемые вопросы, может обратиться к списку добавленной при переводе литературы; в него включены и работы авторов, упомянутых в книге. Номера соответствующих ссылок снабжены звездочкой.

Можно не сомневаться, что знакомство с этой областью математики будет полезным не только специалистам, которые найдут здесь много новых идей, но и математикам самых разных специальностей.

С. Л. Крушкаль

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эти заметки основаны на материале четырех лекций, прочитанных Л. Берсом и автором на «Семинаре о диффеоморфизмах поверхностей по У. Тёрстону», работавшем в 1976- 77 гг. в Университете Париж-юг, в Орсэ. Наши лекции были посвящены некоторым классическим результатам и технике вещественно аналитической теории пространства Тейхмюллера. Кроме того, Берс изложил полученное им недавно строгое обоснование тёрстоновской классификации диффеоморфизмов поверхностей.

Большая часть приведенного в книге материала, насколько мне известно, до сих пор не публиковалась, хотя почти вся она входит в «фольклор» современной теории римановых поверхностей. Совершенно новыми являются принадлежащая Берсу лемма 3 п. 3.3 гл. II и результаты § 4 гл. III.

Изложение концентрируется вокруг работы Берса о проблеме модулей.

По материалам семинара в Орсэ о работах Тёрстона были изданы также заметки А. Фати, Ф. Лауденбаха и В. Пенарю, дополняющие содержание этой книги.

Я старался сделать изложение возможно более простым. Предполагается знакомство читателя лишь с основными понятиями математики, простейшей терминологией и с определением римановой поверхности. Без доказательства используются следующие результаты:

1) теорема униформизации;

2) теорема Римана — Роха;

3) теорема Брауэра об инвариантности области;

4) теорема Альфорса — Берса о зависимости решения уравнения Бельтрами от параметров;

5) теорема Гурвица о конечности группы конформных автоморфизмов компактной поверхности рода больше 1;

6) теорема о том, что гомеоморфные компактные римановы поверхностй диффеоморфны.

Цитируемая литература приводится в конце каждой главы.

Чтобы понять какое-нибудь утверждение из теории римановых поверхностей, часто бывает достаточно посмотреть на соответствующую картинку. Рисунки, которые сопровождают и иллюстрируют текст, — лишь простейшие примеры математического и художественного мастерства Джорджа Френсиса. Я полагаю, что читатели присоединятся к моей благодарности автору рисунков. Редакторским способностям и бесконечному терпению моей жены Крис обязан я тем, что читатель будет избавлен от многих неясностей и неточностей языка.

Во время подготовки заметок я пользовался гостеприимством Института высших научных исследований во Франции и финансовой поддержкой Национального научного фонда и фонда Альфреда П. Слоуна.