3.4. Римановы поверхности с узлами и пополненные пространства модулей

Определяя координаты Фенхеля — Нильсена, мы установили, что удобнее выбрать в качестве координат величины, обратные некоторым длинам, нежели сами длины. Пусть а — замкнутая кривая, ограничивающая панты при некотором разложении поверхности на панты, и пусть а — кривая, которую нельзя стянуть в идеальную граничную компоненту поверхности Если служит ядром Нильсена поверхности то можно произвести на такую замену конформной структуры, что и при этом идеальная граничная компонента поверхности определенная кривой стягивается в прокол. Используя результаты предыдущего пункта, можно произвести замену накрывающей группы так, что преобразование соответствующее кривой станет параболическим для всех Такой способ деформации римановой структуры приводит к естественному обобщению понятия римановой поверхности.

Определение. Римановой поверхностью с узлами называется связное одномерное комплексно аналитическое пространство такое, что любая его точка имеет фильтр окрестностей с базисом в котором все гомеоморфны либо диску, либо множеству

Во втором случае мы будем называть узлом, его конической окрестностью. Множество всех узлов поверхности обозначается Компоненты связности дополнения будем называть частями Будем говорить, что

неисключительного типа, если такова каждая часть Метрику Пуанкаре на полагаем равной имеющейся метрике Пуанкаре на каждой части Можно также говорить об отмеченных римановых поверхностях с узлами, задавая отмеченные наборы на частях и фиксируя отождествления, которые происходят при этом в узлах.

Отметим, что координаты Фенхеля — Нильсена частей 5 задают в совокупности координаты Фенхеля — Нильсена всей поверхности с узлами Кроме того, риманова поверхность с узлами — это структура, получаемая деформацией исходной поверхности при которой конечное число гомотопически независимых непересекающихся простых петель, не стягиваемых на идеальную границу стянуты в точки (рис. II. 14).

Рис.

Прежде чем исследовать это явление вырождения для общего случая, рассмотрим классический пример: поверхность типа (1,1,0). Разложение поверхности на панты получается разрезанием вдоль единственной нетривиальной простой петли а. Координаты Фенхеля — Нильсена для поверхности типа (1, 1, 0) задаются точкой верхней полуплоскости Скручивание действует на сдвигом, и топологически представляет собой проколотый диск. Когда деформации исходной поверхности сходятся к проколу. Предельная поверхность — поверхность с узлами может быть использована для того, чтобы «заполнить» прокол. Орицикл инвариантен относительно действия группы и проектируется в проколотую окрестность можно рассматривать как точку базис окрестностей которой образуют орициклы.

Пусть теперь поверхность более общего неисключительного типа, разложение на панты и -семейство граничных компонент пантов не стягиваемых на идеальную границу поверхности Образуем поверхность с узлами стягивая некоторые из кривых набора скажем в точки. Пусть склеивания на соответствующие

кривым Назовем орициклической окрестностью поверхности или орициклом в множество отмеченных римановых поверхностей с узлами или без узлов, таких, что

если а окружает прокол;

в противном случае;

произвольно, если ;

в противном случае.

Здесь величины внутренней длины и углов склеивания вдоль для поверхности Теперь приклеим 5 к (соответственно к или к используя определенные выше орициклические окрестности (соответственно их проекции) как базис фильтра окрестностей точки 5. Процесс добавления таких поверхностей с узлами, соответствующих всевозможным разложениям на панты, к пространствам называется пополнением. Полученные пространства называются соответственно пополненным пространством Тейхмюллера пополненным пространством Берса и пополненным пространством Римана

Если имеет тип то можно отождествить с пространством модулей стабильных алгебраических кривых рода (см. Берс [1]). Пространство есть проективное алгебраическое многообразие. Этот факт — глубокий результат алгебраической геометрии, в доказательстве которого на различных стадиях участвовали Мамфорд, Майер, Кнудсен и Гизекер (см. Мамфорд [9]). Здесь мы покажем только, что компактное хаусдорфово пространство. Точнее, имеет место

Теорема. Если поверхность неисключительного типа то компактное хаусдорфово пространство.

Прежде чем излагать доказательство этой теоремы, отметим, что к пространству Берса определенному некоторым набором координат Фенхеля — Нильсена, можно добавлять лишь те поверхности с узлами, которые получены стягиванием в точку граничных кривых фиксированного разложения на панты. Получаемое в результате этого пространство представляет собой, согласно теореме п. 3.2, произведение дисков на евклидово пространство и, следовательно, хаусдорфово.

Определение. Пусть та же, что и выше, а — два разложения на панты: Эти разложения называются конгруэнтными, если существует гомеоморфизм, или, что эквивалентно,

диффеоморфизм такой, что для всех

Простые комбинаторные рассуждения позволяют доказать следующее утверждение.

Лемма. Если поверхность неисключительного типа, то число классов не конгруэнтных разложений на панты конечно.

Доказательство теоремы. С каждой точкой можно, используя лемму 3 п. 3.3, связать разложение на панты такое, что для каждой граничной кривой а каждого из пантов имеем Определим базу фильтра окрестностей точки Именно пусть — это множество допускающих разложение на панты конгруэнтное причем соответствует и для всех граничных кривых поверхности соответствующих граничным кривым поверхности выполнены условия

если представляет прокол, но не узел;

а углы склеивания удовлетворяют условиям

в остальных случаях произвольны.

Очевидно, что база фильтра окрестностей точки определенного выше в этом пункте. Мы показали, таким образом, что удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Пусть где Выберем разложение поверхности так, что граничные кривые всех пантов удовлетворяют условию Переходя, если нужно, к подпоследовательности и применяя предыдущую лемму, можно считать, что все конгруэнтны некоторому фиксированному Переходя еще раз к подпоследовательности, можно добиться, чтобы при По модулю действия автоморфизмов скручивания будем считать, что углы склейки лежат в интервале Для каждой пары индексов выберем подпоследовательность сходящуюся при Это показывает, что содержит подпоследовательность, сходящуюся к некото рой поверхности Поверхность имеет относительно разложения координаты Фенхеля — Нильсена Следовательно, компакт,

Пусть теперь различные точки в Покажем, что если достаточно велико, то

Заметим прежде всего, что Если то точки должны накапливаться и к для любой подпоследовательности Но координаты Фенхеля — Нильсена каждой из точек накопления вполне определены, и конформно эквивалентны а значит, и друг другу. Это противоречит нашему предположению и тем самым доказывает, что хаусдорфово.

Добавим, что Харви [4] нашел особенно изящную конструкцию пространства

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)