3.2. Метрическая геометрия пространства Тейхмюллера

В гл. I было отмечено, что в пространстве Тейхмюллера имеется естественная геометрия «прямого пространства» в смысле Буземана. Нам подебуются некоторые понятия этой геометрии. Пусть метрическое пространство. Геодезический сегмент в X — это дуга в X, вдоль которой функция

расстояния однозначно аддитивна. Это означает следующее. Пусть непрерывная кривая с Если то называется геодезическим сегментом между Если единственный геодезический сегмент между то он называется линейным сегментом между Множество называется прямой, проходящей через если можно расширить до отображения так, что линейный сегмент в X для всех Пара называется прямым пространством (в смысле Буземана), если через любую пару его точек можно провести прямую.

Мы хотим показать, что пространство Тейхмюллера с метрикой Тейхмюллера есть прямое пространство. Имеется естественный кандидат на роль прямой, проходящей через две различные точки . В самом деле, выберем точку в качестве базовой для пространства Тейхмюллера. Тогда деформация Тейхмюллера

удовлетворяет условию

Пусть для и

где . Назовем образ при отображении

прямой Тейхмюллера, проходящей через

Лемма изометрия.

Доказательство. Согласно теореме Тейхмюллера, сохраняет расстояние до Пусть Положим Тогда соответствующие деформации Тейхмюллера имеют вид

Пусть есть -координаа в окрестности точки Тогда локальная координата на поверхности индуцированная деформацией Тейхмюллера

Аналогично, индуцированная локальная координата на Положим Деформации Тейхмюллера

индуцирует локальную координату Следовательно, изометрия.

Теперь мы можем доказать следующее утверждение.

Теорема. -прямое пространство.

Доказательство. Пусть Две различные точки. По теореме существования Тейхмюллера через точки можно провести прямую Тейхмюллера. Согласно предыдущей лемме, каждая поддуга прямой Тейхмюллера представляет собой геодезический сегмент. Для доказательства того, что о — прямое пространство, достаточно проверить, что каждый геодезический сегмент на прямой есть линейный сегмент. Для этого в свою очередь достаточно показать, что если концевые точки а удовлетворяет условию

то Для положим Пусть, далее, Так как геодезический сегмент, то найдется такая поверхность что для частности, получаем

Пусть деформация Тейхмюллера из Как и в гл. I, опять имеем По теореме единственности Тейхмюллера из формулы (1) вытекает, что или

Из формул, приведенных в доказательстве леммы 2 п. 3.5 гл. I, для любого допустимого отображения и любой локальной координаты получаем

Положим Если исключить конечное число точек на поверхности из приведенных вычислений получим следующее равенство в терминах голоморфной локальной

координаты на

Так как отображения Тейхмюллера, то и существуют такие что

Соотношение (2) дает

Положим

Тогда и

Покажем, что Допустив, что получим противоречие следующим образом. Так как мёбиусово преобразование с вещественными коэффициентами, то на окружности имеет единственный минимум, который достигается в точке кроме случая, когда а в этом случае должно быть это невозможно, так как приводит к

Итак, и локально Отсюда сразу следует, что лежит на (единственной) прямой Тейхмюллера, проходящей через

Из этого доказательства непосредственно вытекает

Следствие. Каждая прямая в есть прямая Тейхмюллера,