§ 4. Теорема существования Тейхмюллера

4.1. Римановы метрики на компактных поверхностях

Риманова метрика на многообразии это положительно определенная симметричная билинейная форма на слоях касательного расслоения многообразия .

В случае поверхности удобно представлять локально риманову метрику в виде формы, введенной Гауссом:

Несложная, но скучная выкладка позволяет выразить через локальную координату в виде

Здесь Из условия инвариантности относительно замены локальной координаты следует, что преобразуется как -форма, т. е. инвариантно. При этом служит коэффициентом растяжения, постоянным относительно изменения направления в точке и X есть -форма, т. е. инвариантно. Множитель описывает изменение направления при инфинитезимальном искажении расстояний.

Если римановы метрики на поверхности то тождественное отображение конформно тогда, когда Таким образом, скалярные множители X оказываются несущественными, и множители можно использовать для того, чтобы параметризовать классы конформной эквивалентности римановых метрик. В случае более общих диффеоморфизмов следует перейти к универсальной накрывающей и воспользоваться следующей леммой.

Лемма 1. Пусть диффеоморфизм, и пусть метрика Пуанкаре на Пусть другая риманова метрика на Следующие свойства эквивалентны:

конформно как отображение ,

удовлетворяет уравнению Бельтрами

Доказательство. Отображение конформно тогда и только тогда, когда не зависит от направления. Если удовлетворяет уравнению Бельтрами, то

где зависит только от Поэтому не зависит от направления как отображение из ( Таким образом, Обращая это рассуждение, получим обратную импликацию.

Простое вычисление показывает, что накрывает отображение тогда и только тогда, когда X является -формой относительно является -формой относительно т. е. и

всех Vе Каждая гиперболическая поверхность допускает гладкую метрику, а именно метрику Пуанкаре. Если локальная координата на римановой поверхности то мы видим, что деформация Тейхмюллера порождает метрику с особенностями

Лемма 2. Если есть -координата на -есть -координата на то где есть линейный элемент на а множитель С не зависит от направления,

Доказательство.

так как

Формы называются коэффициентами Бельтрами. Коэффициент Бельтрами вида и называется дифференциалом Тейхмюллера.