4.2. Асимптотическое поведение длин кривых

Пусть поверхность неисключительного типа и простые не гомотопные друг другу петли на 5. Напомним, что геометрическим индексом пересечения называется точная нижняя грань мощностей множеств точек пересечения кривых пробегающих классы свободной гомотопии соответственно кривых Если снабжена полной гиперболической или внутренней метрикой, то достигается, когда геодезические кривые в своих классах свободной гомотопии.

Пусть а — петля на не стягиваемая ни в точку, ни к проколу. Положим

Лемма 1. Если петля гомотопна а или же Здесь — гиперболическая, а -внутренняя длина геодезической в классе свободной гомотопии кривой на римановой поверхности

Доказательство. Так как то достаточно доказать лемму для случая гиперболической длины. Если Гомотопна а, то что очевидно в координатах Фенхеля — Нильсена относительно любого разложения 9 на панты, для которого кривая а входит в рассечение.

Если не гомотопна а, то либо — граничная кривая, окружающая прокол, либо — кривые рассечения для некоторого разложения 3 поверхности на панты. В любом случае для координат Фенхеля — Нильсена будет функцией-длиной разреза, инвариантной относительно

Лемма 2. Существует постоянная зависящая только от такая, что

где а скобки означают целую часть числа.

Доказательство. Множество компактно в Поэтому отображение Тейхмюллера удовлетворяет неравенству для эсех По теореме Волцерта (теорема 4 п. 1.3 гл. II) Так как отображение есть изометрия Тейхмюллера (теорема 2 п. 2.1 гл. II), то отображение

Тейхмюллера удовлетворяет неравенству и результат следует из теоремы Волперта, поскольку

Леммы 1 и 2 показывают, что длина асимптотически определяется величиной Для определения этой величины нам потребуется одна лемма из гиперболической геометрии.

Лемма 3. Пусть универсальное накрывающее отображение. Обозначим через положительную мнимую полуось, и пусть простая петля а на Тогда для любой последовательности для которой различны между собой.

Доказательство. Пусть выбраны так, что На найдется такая точка

для некоторого

В силу неравенства треугольника

ибо все различны, а следовательно, различны и . Из разрывности следует, что а значит, то же самое верно и для

Теорема. Если то

Доказательство. Снова достаточно доказать результат только для гиперболической метрики, а на основании леммы 2 нужно установить, что

Пусть универсальное накрытие. Можно предполагать, что прообраз петли положительная мнимая полуось Так как то найдется поднятие петли которое пересекает можно считать, что В — гиперболическая прямая. Кривая пересекает также некоторую прямую Пусть примитивное накрывающее преобразование с осью Аналогично теореме из п. 3.2 гл. II, если примитивный элемент, оставляющий на месте, то скручивание можно реализовать переносом с помощью преобразования геометрии части, лежащей по одну сторону от на другую сторону. Этот перенос геометрии можно, используя инвариантность относительно действия группы, расширить до переноса через все образы .

В частности, различные переносы переставляются между собой преобразованием и при некотором выборе имеем так что различны. Из леммы 3 следует, что