§ 3. Пополненные пространства модулей

Пространства модулей — это пространства параметров для деформаций данного геометрического или аналитического объекта. И пространство Тейхмюллера, и пространство Римана служат пространствами модулей для римановых поверхностей.

Рис.

В пространстве Тейхмюллера можно глобально ввести координаты — либо с помощью квадратичных дифференциалов (координаты Тейхмюллера), либо с помощью матричных коэффициентов (координаты Фрике). В п. 3.2 введем еще один набор координат, более подходящий для исследования вырождения данной римановой структуры.

Мамфорд и Майер, используя аппарат алгебраической геометрии, первыми показали, что пространство классов конформной эквивалентности компактных римановых поверхностей фиксированного рода допускает естественную компактификацию. Идеальные точки, которые при этом появляются, представляют римановы поверхности, на которых конечное число простых петель стянуто в точки (рис. II. 4).

Такая компактификация пространства обозначается и называется пополненным пространством Римана. Идеальная граница соответствует идеальным граничным точкам, которые могут быть добавлены к любому разветвленному накрытию . В частности, мы получаем пополнение пространства Тейхмюллера Группа действует на

3.1. Панты и их конформные структуры

Простым следствием классификации поверхностей является тот хорошо известный факт, что каждая ориентируемая поверхность конечного неисключительного типа может быть представлена в виде конечной связной суммы трехсвязных областей. Склеивание происходит вдоль одной или нескольких граничных кривых (23). В этом пункте мы опишем конформную структуру таких трехсвязных областей, или, в нашей терминологии, пантов. В следующем пункте будет описан процесс конформного склеивания. Это позволит нам параметризовать пространство Тейхмюллера длинами идеальных граничных кривых трехсвязных областей и некоторых углов склейки.

Следуя Тёрстону, будем называть пантами (от французского такие поверхности с краем, внутренность которых гомеоморфна трехсвязной области Панты, у которых одна или несколько граничных компонент С являются проколами, будем называть сжатыми (вокруг С). Граничные компоненты пантов удобно называть поясом левым вырезом и правым вырезом Отметим, что свободная группа с двумя образующими. В качестве образующих можно взять гомотопические классы двух из трех граничных кривых.

Пусть универсальное накрытие. Возьмем точку и выпустим из гиперболические геодезические соединяющие ее с каждой из граничных компонент. Дополнение представляет собой односвязную риманову поверхность, и, следовательно, его прообраз односвязная область Если для какой-нибудь точки выбрать прообраз то определяется однозначно (рис. II. 5).

Теорема. Если панты, то конформная структура определяется с точностью до конформной или антиконформной эквивалентности набором чисел

Доказательство. Прежде всего выберем ориентацию на кривых Нормализуем группу преобразований наложения накрытия так, чтобы преобразование

соответствовало кривой преобразование соответствовало кривой кривой . В матричном представлении имеем

Здесь мы предполагаем, что

По лемме 3 п. 2.2, находится с точностью до знака, если известны Так как — свободные имеет единственное решение.

Рис.

порождающие группы можно положить Если фиксировать знак то система уравнений

Таким образом, определены однозначно. Изменение знака приводит к умножению на а следовательно, не меняет

Если исходить из условий нормировки то накрывающая группа будет та же с точностью до отражения относительно мнимой оси. Сопряжение посредством этого отражения соответствует в точности антиконформной эквивалентности.

В дальнейшем нам понадобится следствие из этой теоремы, которому мы предпошлем следующее

Определение. Пусть риманова поверхность с краем неисключительного типа, Назовем ядром Нильсена

поверхности такую связную подповерхность с краем поверхности что:

есть деформационный ретракт поверхности если простая геодезическая петля, стягиваемая на границу то

Отметим, что единственная поверхность, для которой является расширением Нильсена.

Следствие 1. Пусть панты. Если а — замкнутая кривая на поверхности пусть -внутренняя длина

Тогда поверхность определяется величинами однозначно с точностью до конформной или антиконформной эквивалентности.

Доказательство. Достаточно заметить, что есть в точности ядро Нильсена поверхности рассмотренной в теореме. I