§ 5. Пространство Тейхмюллера

До сих пор наша конструкция существенно зависела от выбора исходной для поверхности Однако Тейхмюллер показал, что на имеется структура метрического пространства, параметризующего конформные структуры на отмеченной поверхности Метрика (по определению) не зависит от выбора базисной поверхности Пусть род равен

Будем отождествлять точки с поверхностями, которые они представляют. Для положим

где Пространство Тейхмюллера это метрическое пространство

Теорема. полное метрическое пространство, гомеоморфное пространствам

Доказательство. Из результатов п. 3.5 и теоремы единственности Тейхмюллера следует, что метрика. Если последовательность Коши в метрике то -последовательность Коши в топологии Следовательно, полно. Если то легко показать, что и обратно.

Много интересных результатов о геометрии пространства Тейхмюллера получил С. Кравец [8]. Однако в его работе содержится и ошибочное утверждение. Этот вопрос обсуждался в диссертации Линч в Колумбийском университете и в работе Мазура [24]