1.2. Дубль поверхности и расширения Нильсена

Пусть риманова поверхность с краем, ее зеркальный образ. Дубль (Шоттки) поверхности есть, по определению, объединение в котором отождествлены соответствующие точки краев и 5. Точнее говоря, каждой точке сопоставляется точка При этом если то в окрестности точки введем локальную карту . В качестве соответствующей карты в окрестности точки возьмем где комплексное сопряжение. Для точек края используем очевидную топологию. Это определяет поверхность зеркальный образ поверхности Полагаем теперь

Конформная структура определяется в точках очевидным образом. Пусть теперь окрестность точки и пусть функция непрерывна в IV и голоморфна в Вложим посредством отображения такого, что голоморфно и подобно тому, как это делалось в п. 1.1. Так как прямые линии представляют собой устранимые особенности для голоморфных отображений с непрерывным продолжением (см., например, Картан [3, с. 71, 74]) (14), то отображение голоморфно продолжается на Отсюда следует, что голоморфно продолжается на все значит, имеет в окрестности точки единственную конформную структуру. Таким образом, риманова поверхность без края.

Имеется другой способ построения дубля римановой поверхности. Пусть поверхность с краем,

универсальное накрытие соответствующая ему группа накрывающих преобразований. Можно предполагать, что точка является неподвижной для некоторого элемента группы Группа действует разрывно на открытом подмножестве при это где нижняя полуплоскость в С. Кроме того, действует разрывно на открытых подынтервалах оси Тогда Отображение накрывается сопряжением на имеется каноническая антиконформная инволюция, меняющая местами и оставляющая неподвижными все точки

Пусть риманова поверхность с краем типа причем Если ) или (0, 1, 1), то гиперболическая поверхность. Вложение накрывается изометрией универсальной накрывающей поверхности Поэтому каждая компонента края геодезическая в своем классе свободной гомотопии на Чтобы в этом убедиться, достаточно выяснить, какие кривые в А остаются на месте при антиконформной изометрии порядка два, а затем спроектировать их на

Определение. Пусть риманова поверхность с краем, и пусть ее дубль. Предположим, что гииерболическая поверхность. Ограничение на гиперболической метрики называется внутренней метрикой

Рассуждения, предшествующие определению, доказывают следующую лемму.

Лемма 1. Граничные кривые являются геодезическими для внутренней метрики.

Представим в виде с накрывающей группой При этом вкладывается в и ее образ стабилизирует односвязную компоненту дополнения Далее, есть деформационный ретракт поверхности Поверхность называется расширением Нильсена поверхности (см. Берс [2]). При построении расширения Нильсена к поверхности приклеивается по бесконечному рогу вдоль каждой кривой края, и таким образом осуществляется пополнение по внутренней метрике (рис. И. 1) (15).

Элементарные рассуждения показывают, что любой элемент накрывающий компоненту края гиперболичен. Поэтому, согласно следствию 1 п. имеет граничные кривые, соответствующие каждой из ее идеальных граничных компонент. Далее можно применить к процесс построения расширения Нильсена и получить и т. д.

Граничные кривые поверхности будут геодезическими в (полной) гиперболической метрике на

Определение. Бесконечным расширением Нильсена поверхности называется

Рис. 11.1.

Следующая лемма также доказывается с помощью обобщенной леммы Шварца.

Лемма 2. Пусть С — граничная кривая поверхности граничная кривая расширения Нильсена поверхности свободно гомотопная кривой С. Если I — длина С в гиперболической метрике на длина в гиперболической метрике на то

Доказательство. Мы показали выше, что но Из теоремы п. 1.2 следует, что при этих условиях Далее, есть геодезическая (относительно в классе свободной гомотопии кривой С. Поэтому