1.2. Отмеченные римановы поверхности и пространство Фрике

Пусть компактная риманова поверхность рода Пусть С — упорядоченный набор стандартных порождающих

группы набор простых петель удовлетворяющий таким условиям:

(1) где — коммутатор;

(2) геометрический индекс пересечения петель при равен при нечетном и нулю при четном

Пара называется отмеченной римановой поверхностью, отмеченным набором.

Рассмотрим теперь множество всех мономорфизмов для которых:

дискретна;

(2) для некоторого фиксированного отмеченного набора С на

имеет в отталкивающую неподвижную точку, имеет в притягивающую неподвижную точку, имеет неподвижную точку в 1.

Лемма. Пусть

причем если Тогда отображение, определяемое формулой

инъективно.

Доказательство. Из коммутационного соотношения вытекает матричное уравнение

где

нечетно

Нужно доказать, что из этого матричного уравнения, зная можно найти коэффициенты матриц По определению имеем Введем Так как то из матричного уравнения вытекает, что коэффициенты удовлетворяют соотношениям

Так как получаем

Уравнения (1) — (4) имеют единственное решение

кроме случая, когда Так как тривиальное решение нам не подходит, можно считать, что X есть положительное значение квадратного корня из Соотношениям (1), (3), (5) и равенству для определителя

удовлетворяет единственное решение, для которого Тогда остальные коэффициенты находятся однозначно, и тем самым инъективность доказана. I

Определение. называется пространством Фрике рода

Теорема. Пространство задает параметризацию отмеченных римановых поверхностей рода

Доказательство. Если то определяет фуксову группу и стандартную систему порождающих ее элементов Эти порождающие накрывают отмеченный набор поверхности. Таким образом, определяет отмеченную поверхность. Обратное утверждение есть прямое, но весьма нетривиальное следствие теоремы униформизации.