Глава I. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ФРИКЕ И ТЕЙХМЮЛЛЕРА ПО ПРОБЛЕМЕ МОДУЛЕЙ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Пусть множество классов конформной эквивалентности римановых поверхностей рода Риман обнаружил (но не дал строгого доказательства), что множество допускает голоморфную параметризацию при помощи комплексных параметров. Довольно скоро выяснилось, что имеет особенности в точках, соответствующих поверхностям которые допускают нетривиальные конформные автоморфизмы. И лишь около 1960 г. было установлено, что есть комплексное аналитическое пространство размерности Почти все доказательства этого факта опираются на фундаментальные результаты Фрике и Тейхмюллера. Эти авторы независимо нвели вещественно аналитическую (но априори не комплексно аналитическую) параметризацию разветвленного накрытия пространства . В обоих случаях накрывающие пространства являются клетками вещественной размерности Разумеется, они вещественно аналитически эквивалентны друг другу.

Фрике (1897), применяя теорему униформизации Кёбе и Пуанкаре (1907), параметризовал группы накрывающих преобразований отмеченных поверхностей рода

Тейхмюллер изучал множество римановых метрик на поверхности имеющих изолированные особенности. Введенное им пространство представляет собой открытую клетку, допускающую компактификацию с помощью измеримых слоений. Эти слоения исследовали Хаббард, Мазур и Керкхофф.

Мы излагаем результаты Фрике и Тейхмюллера, избегая при этом аналитического аппарата, необходимого при использовании квазиконформных отображений с обобщенными производными.

Отметим, что, если это специально не оговорено, все рассматриваемые ниже поверхности предполагаются компактными и рода больше 1, а все диффеоморфизмы — сохраняющими ориентацию.

Приводимые здесь доказательства, по существу, принадлежат Л. Берсу [4].