3.4. Деформации Тейхмюллера

Пусть . Определим деформацию комплексной структуры поверхности следующим образом. Пусть и пусть есть -координата в окрестности точки такая, что Обозначим через кольцо ростков голоморфных в исходной структуре функций в окрестности Назовем росток непрерывной в окрестности функции голоморфным относительно структуры , если где росток голоморфной функции в окрестности нуля комплексной плоскости, Если то это условие эквивалентно тому, что . В терминах -координаты на имеем

Здесь квадратичный дифференциал на поверхности индуцированный деформацией

Переход от координаты на 5 к координате на сохраняет длину вертикальных линий, но растягивает горизонтальные линии в К раз.

Структура как римановой поверхности определена таким образом только в окрестностях точек Для того чтобы показать, что есть на самом деле риманова поверхность, осталось установить, что малый проколотый диск с центром в точке конформно эквивалентен проколотому диску на но не кольцу. Предположим, что со имеет в точке нуль четного порядка т. е. для некоторой локальной координаты Положим т. е. перейдем к локальному -листному накрытию Поднимая со на это накрытие, получим квадратичный дифференциал Горизонтальная (соответственно вертикальная) линия дифференциала со есть поднятие горизонтальной (соответственно вертикальной) линии для Заданная -координата в окрестности поднимается до -координаты в окрестности прообраза точки Введем Проектируя в получим

— требуемую -координату в окрестности точки Если нечетно, нужно сначала поднять со на ориентирующее накрытие, а затем, повторив предыдущую процедуру, получить аналогичное выражение для Таким образом мы ввели локальную координату в окрестности каждой точки и тем самым определили на структуру римановой поверхности

Определение. Структура римановой поверхности называется деформацией Тейхмюллера структуры римановой поверхности

Предложение. Пусть . Тогда росток голоморфной функции в точке (относительно в том и только том случае, когда где удовлетворяет уравнению

Доказательство. По определению, росток функции, голоморфной на если где росток голоморфной функции от Последнее эквивалентно условию Применяя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), получаем

Отметим, что выражения квадратичных дифференциалов со и отличаются в соответствующих им координатах лишь скалярным множителем. Деформация римановой структуры не зависит, очевидно, от величины этого множителя. Поэтому деформации Тейхмюллера данной комплексной структуры можно параметризовать парами где а со лежит на единичной (относительно какой-нибудь нормы) сфере пространства Исходная структура соответствует значению

Определение. Множество

с естественной топологией называется пространством Тейхмюллера с базисной точкой

При имеем Фиксируем и рассмотрим луч Вертикальное измеримое слоение меняется при 1 (точнее, вырождается). Однако, и это весьма существенно, горизонтальное слоение не зависит от Поэтому пространство деформаций Тейхмюллера допускает компактификацию измеримыми слоениями. Суммируем полученные результаты в следующей теореме.

Теорема. Пусть компактная риманова поверхность рода и пусть для некоторых . Если со индуцирован дифференциалом то -горизонтальное слоение не зависит от . В частности, допускает компактификацию граничные точки которой представляют собой -горизонтальные измеримые слоения поверхности

Из теоремы Римана — Роха следует, что Доказательство этого утверждения на языке автоморфных форм можно найти в книге Ленера или в монографии Шимуры «Введение в арифметическую теорию автоморфных функций» (Пер. с англ. — М.: Мир, 1973). Таким образом, представляет собой открытый -мерный диск, есть -мерный замкнутый диск.

Остальная часть этой главы посвящена изучению связи с конформными структурами на и иному, не использующему базисных точек, метрическому описанию