§ 2. Модулярная группа Тейхмюллера и пространство Римана

Мы определили пространства Фрике и Тейхмюллера для римановых поверхностей конечного типа с гиперболическим дублем. В этом параграфе мы покажем, что эти пространства допускают естественные автоморфизмы. Группа таких автоморфизмов и есть модулярная группа Тейхмюллера, обозначаемая Группа разрывно действует на пространстве

Тейхмюллера. В случае компактных поверхностей рода без края биголоморфно эквивалентно ограниченной области в если Ройден показал, что в этом случае полная группа биголоморфных автоморфизмов пространства Тейхмюллера Так как нас интересует здесь только вещественно аналитическая структура то мы не приводим (весьма нетривиальных) доказательств последних двух результатов.

Факторпространство называется пространством Римана для Его точки параметризуют классы конформной эквивалентности римановых поверхностей того же типа, что и Если поверхность конечного конформного типа, то можно снабдить структурой нормального комплексного пространства (17).

2.1. Действие на ... индуцированное диффеоморфизмами ...

Пусть отмеченная риманова поверхность типа с гиперболическим дублем. Обозначим через группу диффеоморфизмов удовлетворяющих условиям

сохраняет ориентацию

расширяется до диффеоморфизма

Условия гарантируют, что переводит проколы в проколы. Заметим, что группа определяется не конформной структурой как проколотой поверхности с краем, а лишь дифференцируемой структурой Поэтому можно опустить упоминание и писать или просто Если то индуцирует отображение

где обозначает гомотопический класс петель с базисной точкой Так как свободно гомотопна петле с базисной точкой то индуцирует автоморфизм

где некоторая фиксированная кривая, соединяющая точки При этом зависит только от гомотопического класса кривой (в пространстве кривых с фиксированными концами). внутренний автоморфизм тогда и только

тогда, когда найдется кривая соединяющая точку с точкой такая, что для всех имеем

Здесь -гомотопический класс кривых с фиксированными концами.

Автоморфизм группы называется заменой отмеченного набора.

Каждый поднимается до диффеоморфизма накрывающей на себя: Согласно условию и по теореме существования и единственности п. 4.2 гл. I, можно расширить до гомеоморфизма где Поэтому можно нормировать потребовав, чтобы точки оставались на месте. Диффеоморфизм действует сопряжением на нормированную группу преобразований наложения универсального накрытия переводя ее в фуксову группу При этом нормированная группа преобразований наложения универсального накрытия но теперь отмеченным набором для служит образ при отображении исходного отмеченного набора на Это определяет новую точку Используя описанные выше гомеоморфизмы между пространствами ту можно определить действие на последних двух пространствах. Обозначим через отображение или в себя, индуцированное диффеоморфизмом

В дальнейшем, если это не вызовет затруднений, мы будем обозначать точки пространств представляющими их отмеченными поверхностями.

Особую роль среди указанных гомеоморфизмов в нашем рассмотрении играют диффеоморфизмы, гомотопные, или, как их еще называют, диффеотопные тождественному. Множество диффеоморфизмов гомотопных тождественному, обозначим

Лемма 1. Если то

Доказательство. Пусть поверхность соответствует мономорфизму Так как представляют собой одну и ту же риманову поверхность, то соответствующие им группы накрывающих преобразований сопряжены в Автоморфизм задает замену порождающих с точностью до внутреннего автоморфизма группы Поэтому

где восстанавливает нормирование. Поскольку гомотопно тождественному, представляет собой сопряжение фиксированным классом кривых. Таким образом,

для некоторого . Условие нормировки дает Поэтому а следовательно,

Лемма 2. Если то гомеоморфизм следовательно,

Доказательство. Как и в предыдущей лемме, определяется сопряжением и автоморфизмом Так как конечно порождена, то представляет собой слово конечной длины от конечного числа порождающих и обратных к ним элементов. Пусть — заданный отмеченный набор поверхности . Матричные элементы преобразования представляют собой полиномы от матричных элементов преобразований и поэтому непрерывны. Отображение перенормировки также непрерывно. Поэтому непрерывно и Так как то — гомеоморфизм. Наконец, поскольку канонически гомеоморфно последнее утверждение также доказано.

Допуская некоторую небрежность, будем говорить, что действует на заменой отмеченных наборов.

Теорема 1. Пусть ее имеет гиперболический дубль. Если то тогда и только тогда, когда гомотопно конформному автоморфизму

Доказательство. Пусть конформный автоморфизм поверхности тогда он поднимается до некоторого элемента Снова имеем где отображение восстанавливает нормирование. Ясно, что в данном случае Порождающие группы рассматриваемой как отмеченная группа, имеют вид где у — соответствующие порождающие группы Поэтому Если теперь гомотопно конформному отображению то и по лемме

Для доказательства обратного утверждения обозначим через поверхность на которой введена конформная структура, полученная поднятием исходной структуры с помощью отображения Пусть отображение из в 5, которое как точечное отображение совпадает с

Отображение голоморфно, факторизуется следующим образом:

Расстояние Тейхмюллера между равно нулю, поэтому гомотопно конформному отображению. I

Определим группу классов (дифференцируемых) отображений как Согласно предыдущей теореме, лежит в подгруппе группы тривиально действующей на Модулярной группой Тейхмюллера называется факторгруппа

Пусть поверхность конечного топологического типа, и пусть либо либо не гиперболическая. В этом случае равно одному из следующих типов: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 0), (1, 0, 0). Соответствующие типы поверхностей называются исключительными.

Теорема 2. Если то изометрия пространства в метрике Тейхмюллера.

Доказательство. Пусть Если отображение Тейхмюллера, реализующее сдвиг на расстояние то оно будет экстремальным допустимым отображением после замены заданных отмеченных наборов на Но именно так действует Следовательно,

Следствие. Если не исключительный тип, то кроме случая, выполняется следующее условие: существует такое что для всех конформных структур типа отображение гомотопно конформному отображению.

Неисключительных типов для которых довольно мало. Паттерсон составил список таких поверхностей конечного конформного типа (18). Примером могут служить поверхности типа (2, 0, 0). Каждую компактную поверхность без края рода 2 можно представить как двулистное накрытие с шестью точками ветвления. Искомым конформным отображением служит отображение, которое переставляет листы накрытия. Для всех других типов всегда

Определение. Пусть неисключительный тип. Пространством Римана типа называется

2.2. Разрывность действия ...

В этом пункте предполагается, что -неисключительный тип. Мы хотим показать, что действует на разрывно. Для доказательства этого утверждения мы выберем путь, который нельзя назвать самым прямым: разрывность действия будет следствием дискретности спектра длин замкнутых геодезических для поверхностей конечного неисключительного конформного типа. Спектр длин поверхности без края сам по себе представляет большой интерес, так как, согласно формуле следа Сельберга, его можно связать с собственными значениями оператора Лапласа на поверхности Волперт [6] показал, что если исключить поверхности, которым соответствует некоторое вещественно аналитическое подмногообразие в то спектр длин 5 определяет поверхность с точностью до конформной или антиконформной эквивалентности. Виньера [5] недавно анонсировал существование неэквивалентных поверхностей с одним и тем же спектром

Определение. Пусть поверхность неисключительного типа — набор петель, представляющих все элементы Упорядоченным спектром длин С) называется последовательность , где:

- гиперболическая длина замкнутой геодезической в классе свободной гомотопии кривой либо

если класс не содержит геодезической.

Спектром длин поверхности называется множество

Лемма 1. Пусть фуксова группа, содержащая сдвиг у: 1. Обозначим через полуплоскость

Если у примитивен в то для всех

либо при некотором

Доказательство. Допустим, что к цфуп. Определим по индукции

где и Тогда

Если то Но тогда сходятся к 1, и группа не дискретна. Это противоречие показывает, что 1.

Пусть тогда Если не является степенью 7, то окружность, касающаяся оси в точке Имеем

откуда сразу следует требуемый результат.

Определение. В обозначениях предыдущей леммы называется орициклом в неподвижной точке преобразования 7.

Лемму 1 можно сформулировать в инвариантном виде: каждой циклической параболической подгруппе группы соответствует орицикл такой, что если обозначить орбиту через то конформно эквивалентно -проколотому диску.

Лемма 2. Пусть гиперболическая риманова поверхность, фуксова группа, и пусть соответствует классу Следующие свойства эквивалентны:

параболический элемент;

гомотопен некоторой степени простой петли, облходящей прокол.

Доказательство. Следствие 1 п. 1.1 показывает, что влечет за собой Покажем, что из следует Сопрягая можно считать, что 7 имеет вид и что 7 примитивен. Пусть отображение проекции; тогда а гомотопен кривой Как отмечалось выше, эта кривая есть простая петля, окружающая прокол поверхности

Лемма 3. Пусть гиперболическая риманова поверхность. Предположим, что и что соответствует классу Тогда

где собственное значение матрицы

и

Доказательство. В п. 1.1 было показано, что гомотопическим классам, не содержащим геодезических, соответствуют параболические элементы. Поэтому если то выполняются (2.1) и (2.2). При других значениях можно считать у гиперболическим. Сопрягая будем считать, что у имеет вид Длина геодезической в классе равна

где Равенство (2.2) вытекает из и инвариантности следа относительно сопряжения. I

Теорема 1. Пусть гиперболическая риманова поверхность типа Тогда последовательность длин замкнутых геодезических на поверхности дискретна.

Доказательство. Пусть -последовательность различных замкнутых геодезических на поверхности Допустим, что Выберем а так, чтобы где гиперболическое расстояние. Пусть универсальное накрытие с накрывающей группой Если , то существует последовательность элементов таких, что Пусть соответствует кривой лежит на геодезической в которую оставляет инвариантной; тогда

Так как действует на V разрывно, то Отсюда следует, что расходятся на поверхности Поэтому можно выбрать подпоследовательность такую, что сходятся к единственному проколу поверхности Тогда можно считать, что сходятся к параболической неподвижной точке. Сопрягая, если понадобится, можно предполагать, что соответствующее параболическое преобразование имеет вид Поэтому по лемме Следовательно, Получаем противоречие.

Из теоремы непосредственно вытекает

Следствие 1. Для любого набора С представителей элементов спектры дискретны, если поверхность конечного неисключительного конформного типа,

Если имеет неисключительный тип то бесконечное расширение Нильсена поверхности имеет тип который также не является исключительным. Если а — замкнутая кривая на поверхности то можно вычислить длину геодезической в классе кривой а на S (соответственно на По теореме Поэтому для любого набора С представителей элементов упорядоченный спектр длин почленно больше дискретной последовательности Отсюда сразу получаем

Следствие 2. Если поверхность неисключительного типа то дискретны.

Определение. Пусть римановы поверхности с отмеченными наборами соответственно. Говорят, что диффеоморфизм сохраняет отмеченные наборы, если для всех кривых кривая о а. гомотопна а..

Наш следующий результат показывает, что на поверхностях неисключительного типа длины конечного набора геодезических определяют точку в соответствующую поверхности, с точностью до антиконформного отображения.

Теорема 2. Пусть отмеченные римановы поверхности неисключительного типа с отмеченными наборами соответственно. Пусть, далее, диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию и отмеченные наборы. Тогда найдется такое конечное множество замкнутых кривых на что выполнение условий для всех влечет за собой гомотопность конформному отображению. Более того, кривые зависят лишь от типа

Доказательство. Достаточно показать, что поверхностям соответствует одна и та же точка или, что эквивалентно, показать, что если и группа нормирована, то можно по восстановить коэффициенты мё-биусовых преобразований, порождающих условии что сохраняет ориентацию. Обозначим через нормированную накрывающую группу проекции

Если то в группе есть порождающий элемент, соответствующий петлям, нестягиваемым в прокол; переобозначим порождающие так, чтобы этим выделенным порождающим был Нормируем группы условиями;

накрывается в преобразованием 71: с соответственно накрывается в преобразованием ;

накрывается преобразованием преобразованием причем

Выбор порождающих со свойствами возможен в силу леммы из п. 1.6.

Заметим, что, так как сохраняет ориентацию, имеют один и тот же знак.

Пусть кривой соответствует элемент Умножая, если необходимо, все коэффициенты на —1, можно предполагать, что . Положим Имеем

Складывая, получаем

и возведение в квадрат дает

Как отмечалось выше, величины известны. Поэтому (2.5) позволяет выбрать знак Далее, так как то (2.4) полностью определяет выбор знаков в (2.3) и коэффициенты находятся однозначно.

Далее, в зависимости от знака После этого определяется из условия на определитель. Чтобы найти при мы поступим так же, как выше, используя Таким образом, группа полностью определена.

Если то заменим на Петли, соответствующие не стягиваются к проколу, поэтому при они должны накрываться в гиперболическим преобразованием. Повторяя предыдущее рассуждение, приходим к заключению теоремы.

Л. Кин [5] показала, что для определения структуры поверхности достаточно знать длины замкнутых кривых.

Следующие два результата, которые мы приводим, представляют собой стандартные факты теории римановых поверхностей. С метрикой Пуанкаре в (обозначим ее связан элемент площади который инвариантен

относительно Поэтому он проектируется на любую гиперболическую поверхность. При этом величина

называется гиперболической площадью поверхности

Лемма 4. Если конформно конечная гиперболическая поверхность, то

Доказательство. Пусть полный набор проколов поверхности достаточно малый диск с центром Так как компактно, то

Если малая петля вокруг прокола то можно считать, что в она накрывается элементом у: 1.

Если достаточно мал, то где Но откуда следует, что

Хорошо известно, что для конформно конечной гиперболической поверхности типа площадь равна Имеется два довольно элементарных доказательства этого результата. В первом используется тот факт, что кривизна равна —1, теорема Гаусса — Бонне и процедура исчерпания. Второе доказательство более элементарно, но более громоздко. Сначала вычисляется гиперболическая площадь треугольника, затем для вычисления используется инвариантность эйлеровой характеристики (см. Макбет [6] или Кра [15]).

Следующий результат представляет собой один из основных фактов теории римановых поверхностей. Доказательство довольно длинно, и мы не приводим его здесь и отсылаем читателя к вполне доступному доказательству Зигеля [10, с. 46] (20).

Определение. Пусть фуксова группа. Фундаментальным множеством группы называется открытое множество такое, что и максимальное открытое множество, на котором инъективно.

Лемма 5. Если фундаментальное множество фуксовой группы то

Лемма 6. Если фуксова группа, ее нормализатор в группе то фуксова группа.

Доказательство. Если бы не была фуксовой, то нашлась бы последовательность элементов

сходящаяся к Тогда, выбрав будем иметь Это, однако, противоречит тому факту, что фуксова группа

Теорема 3. Пусть риманова поверхность неисключительного типа группа голоморфных автоморфизмов поверхности Тогда конечная группа.

Доказательство. Пусть универсальное накрытие. Каждому элементу соответствует мёбиусово преобразование которое нормализует Обратно, каждому элементу соответствует некоторый Таким образом,

Так как фуксова группа, то она имеет фундаментальное множество такое, что Считая, что поверхность конечного конформного типа, рассмотрим множество представителей классов по Так как инъективно на то для Далее, лежит в некотором фундаментальном множестве для Если то же верно и для Но поэтому и множество индексов конечны.

Если не является конформно конечной, то воспользуемся тем, что каждый конформный автоморфизм можно расширить до конформного автоморфизма дубля поверхности Применяя тогда к проведенные выше рассуждения, установим, что группа конечна.

Теорема 4. Если поверхность неисключительного типа то группа действует на разрывно.

Доказательство. Допустим, что это неверно, т. е. действие не является разрывным. Тогда существует последовательность такая, что сходится к некоторой точке Если диффеоморфизм поверхности индуцирующий то определяет отображение

причем не зависит от выбора индуцирующего диффеоморфизма

Так как пространства гомеоморфны, то последовательность нормированных накрывающих групп, соответствующих сходится поэлементно. Поэтому как элементы Поскольку множества дискретны, для всех а начиная с некоторого номера постоянны. Следовательно, для любого конечного

набора замкнутых геодезических и достаточно большого имеем

при и всех По теореме 2 найдется конформное отображение сохраняющее отмеченный набор. Как точки пространства Тейхмюллер для всех По предыдущей теореме лишь конечное число может быть индуцировано разными конформными автоморфизмами таким образом, последовательность конечна. Я

Приведем несколько непосредственных следствий этой теоремы (или ее доказательства).

Следствие действует на разрывно.

Следствие

Следствие — хаусдорфово пространство.