4.2. Теорема существования Тейхмюллера

В этом пункте мы введем естественную топологию на множестве деформаций Тейхмюллера и определим естественное отображение этого множества — его гомеоморфизм на пространство Отсюда, в частности, следует, что любая конформная структура на поверхности может быть получена деформацией Тейхмюллера исходной структуры.

Пусть опять компактная риманова поверхность рода — голоморфная универсальная накрывающая поверхности Мы будем также использовать обозначения (возможно, с добавлением индексов) где есть сама поверхность , снабженная -структурой, поднятой с Применяя теорему униформизации, получаем коммутативную диаграмму

где конформные отображения, определяется из условия коммутативности верхнего квадрата. Группа накрывающих преобразований для проекции (соответственно группа для определена с точностью до автоморфизма Если то пусть порождающие элементы группы определенные фиксированным изоморфизмом (см. § 1) (соответственно порождающие группы определенные изоморфизмом индуцированным тождественным отображением Нормируем так, чтобы точка была отталкивающей, а притягивающей неподвижной точкой неподвижной точкой Соответственно этому будут нормированы и отображения Определим отображение

где нормированная группа накрывающих преобразований для Как мы видели выше, это отображение не инъективно.

Введем в норму и обозначим через открытый единичный шар в этой норме в Рассмотрим отображение

Тогда гомеоморфизм пространства Тейхмюллера на Возьмем теперь отображение

Лемма. Отображение инъективно.

Доказательство. Если то конформно эквивалентны, причем эта эквивалентность осуществляется отображением, гомотопным тождественному. Согласно следствию из теоремы единственности Тейхмюллера, т. е.

Как мы уже отмечали ранее, есть -мерное комплексное векторное пространство. Используя свойство инвариантности области, мы установим, что гомеоморфизм, простой проверкой того, что это непрерывная сюръекция. Нам понадобится следующая теорема существования и единственности.

Теорема. Пусть и Существует единственный гомеоморфизм такой, что

оставляет неподвижными точки

— гладкое отображение в точках гладкости

при если зависит -гладко (соответственно комплексно аналитически) от каких-нибудь параметров, то зависит от этих параметров также -гладко (соответственно комплексно аналитически).

Доказательство. См. Альфорс [2, гл. V].

Сделаем несколько замечаний по поводу этой теоремы.

1) Вообще говоря, производные, о которых идет речь в понимаются как локально интегрируемые обобщенные производные. Однако для наших целей это не существенно.

2) Утверждения были получены с постепенным снижением ограничений на Гауссом, Корном и Лихтенштейном, а для Морри (1938) (10). Дальнейший вклад внесли Альфорс и Берс. Они выяснили характер зависимости от параметров. Используя свойство легко показать, что пространство Тейхмюллера есть комплексное многообразие. Сам Тейхмюллер утверждал, что он получил лишь вещественно аналитическую параметризацию (но в его доказательствах имеются пробелы).

3) Если удовлетворяет дополнительно условию то из единственности следует, что его ограничение на есть гомеоморфизм на себя. Поэтому определяет автоморфизм причем для всех . В дальнейшем, если определена на 0, будем считать ее продолженной на всю плоскость С равенством

Следствие 1. Отображение непрерывно.

Доказательство. Положим

где — поднятие Так как компактна, то сходимость в индуцированная нормой, влечет за собой сходимость в топологии равномерной сходимости. Поэтому если то нормально. Однако если то

Поэтому сходимость к равномерна всюду, исключая нули и стало быть, непрерывно.

Положим Снабдим группу автоморфизмов топологией равномерной сходимости. Из теоремы Альфорса — Берса следует, что отображение 42 непрерывно в этой топологии.

Пусть . Вне точек функция удовлетворяет уравнению Бельтрами

(предложение 3.4). Вспомним теперь, что голоморфная функция от . Короткое вычисление в локальной координате показывает, что

Из утверждения теоремы о единственности нормированного отображения получаем

Отсюда следует, что компоненты матричного представления конечного множества порождающих группы также непрерывно зависят от значит, непрерывно.

Следствие 2. Отображение есть сюръекция на компоненту связности множества

Доказательство. Допустим, что и как отмеченная поверхность. Пусть дифференцируемое отображение накрывающее Тогда Так как образ плотен в а открыто, то существуют дифференцируемые отображения такие, что и следующая диаграмма коммутативна:

Предполагается, что сохраняют отмеченные наборы и что конформно. Если дифференциал Тейхмюллера, соответствующий , то

С другой стороны, по теореме единственности Тейхмюллера

поскольку Полученное противоречие показывает, что значит, сюръекция на компоненту связности

Следствие 3. Множество связно.

Доказательство. Пусть фиксированная отмеченная поверхность. Каждая точка определяет мономорфизм Положим Ясно, что также отмеченная поверхность. Сглаженное -отображение определяет диффеоморфизм сохраняющий отмеченный набор. Поднимем до Тогда более гого, Пусть нормированное решение уравнения Бельтрами Ввиду единственности нормированного решения имеем

Пусть и пусть нормированное решение уравнения Вычисляя -производные, мы видим, что и отображение

где определено условием непрерывно. Таким образом, линейно связно.

Из доказанных лемм следует

Теорема (Тейхмюллер). — гомеоморфизм.

Следствие 1 (теорема существования Тейхмюллера). Если компактная поверхность рода то каждая комплексная структура на ней (если рассматривается как отмененная поверхность) может быть получена из исходной структуры деформацией Тейхмюллера.

Это утверждение нужно понимать в том смысле, что любая деформация конформной структуры на гомотопна деформации Тейхмюллера (либо тривиальна).

Таким образом, Доказательство теорем Тейхмюллера завершено.

Из теоремы существования непосредственно вытекает

Следствие 2. Пусть гомеоморфизм. В гомотопическом классе отображения найдется отображение вида где деформация Тейхмюллера поверхности конформное отображение.

Отображение из следствия 2 называется отображением Тейхмюллера в классе