3.5. Теорема единственности Тейхмюллера

Доказательство теоремы единственности Тейхмюллера опирается на принцип длины и площади, введенный в классической теории и использованный, например, при

исследовании модуля кольца. Эту технику впервые широко применял Грёч (ср. § 2). Инвариантная формулировка этого метода была предложена Альфорсом и Берлингом.

Пусть и —квадратичный дифференциал на индуцированный дифференциалом Пусть диффеоморфизм имеющий, возможно, изолированные особенности. Множество особых точек отображения обозначим через Для обозначим через инфинитезимальное растяжение горизонтальной линии, проходящей через порожденное отображением (здесь рассматривается как отображение из -координаты в -координату). Пусть якобиан отображения вычисленный в тех же координатах.

Когда рассматривается только поверхность можно измерять горизонтальное растяжение и якобиан в терминах одной и той же координаты Обозначим их соответственно через

Пусть есть -координата на Определим дилатацию отображения формулой

где есть -координата. Заметим, что если то

Определение. Диффеоморфизм (возможно, с изолированными особенностями) назовем допустимым, если

Лемма 1. Пусть допустимый диффеоморфизм, гомотопный тождественному. Тогда

(т. е. среднее горизонтальное растяжение не меньше единицы).

Доказательство. Переход от к ориентирующему накрытию и от к накрывающему его дифференциалу со удваивает как левую, так и правую части неравенства (4). Поэтому можно считать, что из можно извлечь голоморфный квадратный корень и что -горизонтальное слоение имеет на глобальную ориентацию.

Пусть а — горизонтальная линия длины не содержащая точек из Если средняя точка а, то положим

Тогда

так как можно считать, что не лежит на горизонтальных линиях, проходящих через точки Фиксируя любую базисную точку положим

Эта функция определена с точностью до аддитивной постоянной. Пусть Для каждой интегрируемой функции и любого вещественного числа имеем

и

Поэтому

где Следовательно,

Согласно лемме 3.3,

Сравнивая (5) и (6), получаем

Разделив на и устремляя затем приходим к нужному результату. I

Следствие. Если допустимый диффеоморфизм, гомотопный тождественному, то

Доказательство. Комбинируя предыдущую лемму и неравенство Шварца, получаем

Лемма 2. Композиция допустимых диффеоморфизмов допустима.

Доказательство. Пусть открытое подмножество -дифференцируемая функция, такая, что Положим Имеем

Пусть теперь допустимые диффеоморфизмы. Так как имеет лишь изолированные особенности, то для доказательства допустимости достаточно проверить, что . В дальнейших вычислениях можно исключить особые точки, так как это не повлияет на результат. Пусть локальная координата в окрестности точки локальная координата в окрестности точки Используя какую-нибудь локальную координату в окрестности точки можно рассматривать как отображение диска Применение цепного правила дает

Отсюда сразу следует, что не зависит от выбора локальных координат на Кроме того, тогда и только тогда, когда Так как имеем

Соотношение (8) можно записать в виде

где лежат в компактной части для всех и , отличных от особенностей функций . Несложная оценка

показывает, что также лежит компактно в причем это компактное подмножество зависит только от Поэтому что завершает доказательство.

Теорема единственности Тейхмюллера. Пусть допустимый диффеоморфизм, гомотопный тождественному. Тогда

Равенство имеет место в том и только том случае, когда

Доказательство. Пусть тождественное отображение Согласно предыдущей лемме, допустимо и гомотопно тождественному отображению. Следующие две формулы, верные для очевидны:

Более важным и более точным фактом является неравенство

Докажем его, используя локальные координаты. Имеем

Так как на то (11) доказано. Используя получаем

Комбинируя этот результат со следствием леммы 1, заключаем, что Если в этом неравенстве достигается равенство, то, в частности,

почти всюду, а следовательно, и всюду в Введем запишем в -координате:

Положив получим

и

На основании предложения 3.4 отображение конформно в структуре Так как непрерывно на 5, то конформно на поскольку оно гомотопно тождественному отображению, то, согласно результатам §

Следствие. Если то конформно эквивалентно причем эквивалентность осуществляется отображением, гомотопным тождественному тогда и только тогда,

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости рассмотрим и конформное отображение гомотопное тождественному. Легко видеть, что допустимо, а по теореме единственности выполняется неравенство

Меняя местами получим Таким образом, как отображения множеств совпадают.

Выше, доказывая лемму 2, определили для произвольного Если есть -координата на 5, то локально где голоморфно. На основании равенства (8) имеем

поэтому некоторого Отсюда сразу следует, что