§ 3. Неприводимые диффеоморфизмы и гиперболические преобразования

Тёрстон ввел понятие неприводимых диффеоморфизмов с целью выделить преобразования, для которых имеет смысл ограничение на (возможно, несвязные) подповерхности. В этом параграфе мы покажем, что диффеоморфизмы, изотопные неприводимым, индуцируют эллиптические или гиперболические преобразования, и изучим гиперболические преобразования. Перейдем к точным определениям.

3.1. Неприводимые диффеоморфизмы

Пусть поверхность неисключительного типа, а а — набор непересекающихся простых петель на поверхности Будем говорить, что правильно разлагает 5, если каждая из компонент имеет неисключительный тип. Если правильно разлагает таков, что то будем говорить, что приводится набором Назовем неприводимым, если он не изотопен никакому приводимому диффеоморфизму.

Вот два примера приводимых диффеоморфизмов. Положим

Область допускает конформный автоморфизм порядка 4, который можно расширить до конформного автоморфизма дубля области Ясно, что приводим.

Другой пример приводимого диффеоморфизма, на этот раз произвольной поверхности положительного рода, получается так. Рассматриваем скручивания поверхности вокруг простой гомотопически нетривиальной петли

Труднее привести пример неприводимого диффеоморфизма. Можно, однако, доказать следующую теорему.

Теорема 1. Если неприводим, то гиперболичен или эллиптичен.

Доказательство. Если значение достигается в точке то все доказано. Поэтому будем предполагать, что минимизирующая последовательность для функционала По теореме 4 предыдущего параграфа можно считать, что конформные структуры на конечного конформного типа. Ранее мы рассматривали как элементы новая структура отмеченной римановой поверхности на поверхности конечного конформного типа. Однако задача не зависит от отмеченного набора, и, следовательно, имеет смысл рассматривать ее на Пользуясь непрерывностью расстояния Тейхмюллера, получаем, что если то представляет собой -минимальную конформную структуру на поверхности вопреки предположению. Поэтому можно считать, что расходится в Ввиду компактности отсюда вытекает, что некоторая подпоследовательность этой последовательности сходится к римановой поверхности с узлами.

Далее, Поэтому можно считать, что где . Если те простые петли на которые стянуты на то при для По теореме Волперта (теорема 4 п. 1.3 гл. II) геодезическая в классе кривой на имеет длину Поэтому для всех при . Согласно следствию леммы 1 п. 3.3 гл. не пересекаются и должно переставлять между собой соответствующие им гомотопические классы. Однако отсюда вытекает, что гладкое -отображение изотопное переставляет между собой, и, следовательно, не является неприводимым. I