§ 5. Заключительные замечания

Изложенные здесь результаты о классификации диффеоморфизмов поверхностей и модулярных преобразованиях в некоторых отношениях являются неполными. Мы не исследовали приводимые диффеоморфизмы с точки зрения экстремальных конформных структур. Такое исследование было проведено в работе Берса [1]. Он показал, что экстремальные конформные структуры заведомо существуют в пополненном пространстве Тейхмюллера. Действительно, можно показать, что любая минимизирующая последовательность для экстремальной проблемы Берса сходится в к экстремальной конформной структуре. Верно и обратное утверждение.

Мы видели, что гиперболическое модулярное преобразование имеет инвариантную прямую, вдоль которой минимизируется . Эрл [2] показал, что каждая критическая точка отображения

есть точка локального минимума при условии, что гиперболична. Хотя многие специалисты высказывали утверждение

о том, что инвариантная линия единственна, автору не известно ни одного доказательства этого.

Наше обсуждение дробных скручиваний представляет собой элементарное введение в совершенно новый принадлежащий Тёрстону метод изменения конформной структуры поверхности. Вместо дробных скручиваний относительно простых замкнутых геодезических Тёрстон производил дробное скручивание относительно простых разомкнутых геодезических; такую операцию называют «землетрясением» вдоль ламинации (31). Используя технику Тёрстона, Керкхофф недавно анонсировал доказательство проблемы реализации Нильсена (32). На языке этой главы проблему Нильсена можно сформулировать так: пусть — конечная подгруппа группы ). Найдется ли точка неподвижная относительно всех элементов Полезно сравнить эту формулировку проблемы Нильсена с результатами § 2.

Используя координаты Фенхеля — Нильсена в виде можно снабдить пространство та комплексной аналитической структурой. Интересно отметить, что эта структура отличается от обычной. Действительно, с этой структурой биголоморфно эквивалентно полидиску. Не известно, зависит ли эта структура от выбора разложения на панты и действует ли группа голоморфно относительно этой структуры.

Замыкание группы дробных скручиваний в группе гомеоморфизмов пространства — важная, но еще не изученная группа. Основной вопрос — является ли эта группа локально компактной?

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

(см. скан)

(см. скан)