§ 4. Относительные пространства Тейхмюллера и группа дробного скручивания

Как уже упоминалось выше, в 1970 г. Ройден [6] показал, что группа комплексно аналитических автоморфизмов пространства Тейхмюллера при дискретна (29). В последние годы вновь пробудился интерес к изучению непрерывного действия групп на пространстве Тейхмюллера, и в первую очередь тех групп, которые содержат модулярную группу Тейхмюллера в качестве дискретной подгруппы. В этом параграфе мы рассмотрим действие специфической группы — так называемой группы дробного скручивания — и покажем, что оно транзитивно. Волперт [7] дает независимое доказательство транзитивности этого действия в ходе глубокого изучения дробного скручивания. В доказательстве, приведенном ниже, используется менее изощренный аппарат, однако при этом получаются и менее глубокие результаты.

Пусть поверхность конечного неисключительного типа пространство Тейхмюллера для этого конформного типа. В п. 3.2 гл. II мы сопоставили каждому разбиению на панты систему координат Фенхеля — Нильсена в пространстве Эти координаты обозначались Назовем пространством Тейхмюллера поверхности относительно пространство отмеченных деформаций подчиненных такому условию: внутренние длины граничных кривых остаются неизменными при деформации. Это условие позволяет опустить длины всех граничных кривых в наборе координат Фенхеля — Нильсена точки Получаем набор координат независящий от выбора базисной точки и длин граничных кривых,

поэтому можно использовать обозначение вместо . С точностью до вещественно аналитического диффеоморфизма имеем

4.1. Отображения дробного скручивания

Пусть а — простая нетривиальная ориентированная петля на Можно выбрать разложение поверхности на панты так, чтобы была одной из кривых рассечения. Используя координаты Фенхеля — Нильсена в пространстве мы ввели скручивание Дена относительно а, как отображение, задаваемое формулой

где вектор-строка с компонентами Дробное скручивание на угол относительно петли а — это отображение

Скручивание относительно граничной петли определяет тривиальное преобразование Отметим, что коммутирует с проекцией на пространство

Отображение дробного скручивания представляет собой, вообще говоря, линейную или орициклическую интерполяцию (или поток, проходящий через) орбиты Мы выбрали интерполяцию, линейную в координатах Фенхеля — Нильсена, хотя могут быть и другие естественные интерполяции (см. Марден и Мазур [5]).

Для определенных выше проекций на имеется следующий простой, но полезный результат.

Теорема. Пусть неисключительный тип, а разложение на панты поверхности рассекающими кривыми Существует тривиальное слоение пространства коразмерности такое, что:

каждый слой есть пространство ;

устойчив относительно свободной абвлевой группы порожденной преобразованиями ;

действие коммутирует с проекцией на ;

отображение есть вещественно аналитический поток без особенностей,

Скручивания Дена образуют подгруппу Очевидно, что есть решетка в вещественной алгебраической группе