3.4. Псевдоаносовские диффеоморфизмы

Диффеоморфизм называется аносовским, если для некоторой пары трансверсальных измеримых слоений на и некоторого выполняются условия:

образ слоя есть снова слой ;

расстояния между слоями слоения удовлетворяют равенствам

Диффеоморфизм с изолированными особенностями (множество которых мы обозначим называется псввдоаносовским, если

аносовский диффеоморфизм на ;

слоения имеют одинаковые особенности в точках гомеоморфные особенностям горизонтального слоения, связанного с квадратичным дифференциалом.

В этом пункте будет показано, что гиперболические преобразования в группе индуцированы псевдоаносовскими диффеоморфизмами.

Пусть отображение Тейхмюллера; тогда где конформно. Если есть -координата на то — локальная координата на индуцированная деформацией Тейхмюллера. Тогда есть локальная координата на индуцированная отображением Тейхмюллера Назовем начальным, конечным квадратичными дифференциалами для отображения Тейхмюллера

Теорема 1. Пусть риманова поверхность неисключительного типа Если не изотопно периодическому автоморфизму поверхности то следующие свойства эквивалентны:

-отображение Тейхмюллера и ;

если начальный и конечный квадратичные дифференциалы для то

Доказательство. Так как не изотопен периодическому автоморфизму поверхности то не эллиптичен (см. следствие 2 теоремы 1 § 2). Отсюда следует, что если оно достигается — отлично от нуля. Поэтому если то отображение Тейхмюллера и элемент должен быть гиперболическим. Поверхность конформно эквивалентна поэтому к ней снова можно применить . В результате получим

или

По теореме из п. 3.3 точки лежат на одной прямой в и поэтому оба предыдущих неравенства должны обратиться в равенства. Отсюда немедленно вытекает, что отображение Тейхмюллера.

Если точки лежат на одной прямой которая, следовательно, инвариантна относительно По теореме из п. 3.3 достигается в каждой точке на значат, элемент гиперболичен.

Для того чтобы доказать эквивалентность заметим прежде всего, что по формуле для коэффициента Бельтрами композиции двух отображений (см. формулу (8) в п. 3.5 гл. I) имеем

в любой голоморфной локальной координате на Упростим это выражение следующим образом. Положим введем

Так как отображение Тейхмюллера с дилатацией

то всюду, кроме конечного числа точек. Поэтому

откуда следует, что или Но правило композиции, примененное к показывает, т. е. равно минус коэффициенту Бельтрами отображения Если начальный квадратичный дифференциал для то коэффициент Бельтрами отображения Отсюда сразу следует, что — конечный дифференциал для отображения .

Если начальный дифференциал отображения совпадает с конечным дифференциалом, то, обращая предыдущие рассуждения, получим, что и

откуда следует, что отображение Тейхмюллера.

Тёрстоновская классификация диффеоморфизмов топологически конечной ориентируемой поверхности с точностью до изотопии является непосредственным следствием доказанной теоремы. Прежде чем формулировать результаты Тёрстона, проделаем некоторую подготовительную работу.

Мы установили ранее, что деформация Тейхмюллера

локально приводится к виду где

для Индуцированные координаты наиболее удобны для представления компактификации пространства Тейхмюллера измеримыми слоениями.

Если отображение Тейхмюллера в гомотопическом классе отображения то должно глобально сохранять площадь для любой меры Пусть где конформно, деформация Тейхмюллера Так как изменяет площадь элемента увеличивая ее в К раз, то должно уменьшать площадь элемента в К раз. Если гиперболично, а конечный дифференциал отображения то и согкоордината в точке есть в точности

Теперь мы можем доказать следующую теорему.

Теорема 2 (Тёрстон). Если поверхность неисключительного типа изотопен периодическому автоморфизму, то

либо изотопен некоторому приводимому автоморфизму,

либо изотопен псевдоаносовскому диффеоморфизму, гиперболично.

При этом случаи не могут иметь место одновременно.

Доказательство. Предположим, что неприводим и не изотопен периодическому автоморфизму.

Рис.

Тогда достигается в точке, соответствующей конформной структуре типа (без граничных кривых), получаемой с помощью отображения Тейхмюллера Далее, гиперболичен на изотопен По теореме 1 начальный и конечный дифференциалы со и отображения совпадают. Если и где есть -координата на поверхности голоморфная координата в окрестности точки Заметим, что горизонтальные линии переходят в горизонтальные, а вертикальные в вертикальные, так как Отображение увеличивает расстояние между вертикальными линиями в раз и уменьшает расстояние между горизонтальными линиями в раз. Кроме того, имеет лишь особенности, присущие ртображению Тейхмюллера, поэтому оно псевдраносовское,

Покажем, что случаи и не могут выполняться одновременно. Заметим прежде всего, что если изотопно приводимому отображению, то не достигается. Если псевдоаносовское и неособая точка слоения то можно отобразить окрестность точки в плоскость следующим образом. Точка лежит в слое слоения Выберем слои находящиеся на расстоянии от слоя Квадрат, ограниченный слоями можно отобразить на квадрат так, чтобы расстояние между слоями сохранилось (рис. III. 3). Построенные таким образом карты определяют на конформную структуру. В этой структуре а с ним и являются отображениями Тейхмюллера. Тогда, согласно предыдущей теореме, гиперболично, должно достигаться. Полученное противоречие доказывает теорему.