3.3. Дифференциальная геометрия квадратичных дифференциалов

Пусть Определим, используя квадратичный дифференциал инвариантные элементы длины и площади на

Определение. Пусть точка не является нулем и пусть — локальная координата в окрестности так что в этой окрестности со имеет вид Элемент -площади на есть

а элемент -длины на есть

Заметим, что наличие нулей у со ничему не мешает, а полная -площадь поверхности равная конечна. Далее, если исключить особенности то в терминах -координаты на элемент -длины совпадает с евклидовым, т. е. если Длина кусочногладкой дуги равна Ниже мы покажем, что в каждом гомотопическом классе кривых с началом и концом имеется единственная кривая, минимизирующая Такую кривую мы будем называть -геодезической из точки в точку хотя это и не совсем точно. Так как — локально евклидов элемент длины, то кратчайшие геодезические (не проходящие через точки представляют собой кривые, вдоль которых аргумент и со постоянен.

Пусть универсальная накрывающая поверхности Дифференциал поднимается до квадратичного дифференциала на Согласно теореме униформизации,

голоморфно эквивалентна в частности, на 5 есть глобальная координата 2. Тогда на 5 имеется голоморфная функция Отождествим с А. Тогда со можно глобально представить в виде

Лемма 1. Пусть многоугольник в с -геодезическими сторонами. Тогда имеет по меньшей мере три вершины в нулях со порядка и углы при этих вершинах меньше Углы измеряются в гиперболической (или обычной евклидовой) метрике на

Доказательство. Пусть число нулей внутри причем каждый нуль считается столько раз, какова его кратность. Далее, пусть нуль порядка величина угла при вершине Стандартное вычисление вычетов, аналогичное принципу аргумента, показывает, что

Вдоль каждой стороны многоугольника геодезической по условию, имеем

где есть -координата на Кроме того,

Комбинируя три полученных соотношения, приходим к равенству

Каждое слагаемое в левой части строго меньше а правая часть Поэтому по меньшей мере три слагаемых в левой сумме положительны, что и дает требуемый результат. I

Теорема. На компактной римановой поверхности рода больше 1 каждый гомотопический класс кривых с фиксированными концами содержит единственную -геодезическую,

Доказательство. Если точки можно соединить двумя геодезическими, лежащими в одном гомотопическом классе, то на поверхности получится многоугольник с геодезиче скими сторонами — кратчайшими кривыми, соединяющими его вершины — точки Многоугольник односвязен, поэтому его можно поднять на 5, получив там многоугольник Если вершина многоугольника не накрывает ни ни

то угол в вершине удовлетворяет неравенству так как в вершине порядка дуги образуют углы Но это проти воречит предыдущей лемме. Существование -геодезических в каждом гомотопическом классе кривых с фиксированными концами вытекает непосредственно из компактности

Лемма 2. Пусть гомотопно тождественному отображению и Тогда существует постоянная такая, что для всех -горизонтальных дуг а, не проходящих через нули выполнено неравенство

Доказательство. Пусть гомотопия к тождественному отображению; положим

Далее, пусть геодезическая в гомотопическом классе кривых (с фиксированными концами). Положим Так как непрерывная функция на компактна, то Если начало ее конец, гомотопна кривой а в классе кривых с теми же концами. То же верно и для Поэтому

так как дуга а является -геодезической.