Глава III. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНЕЧНОГО ТИПА И ДЕЙСТВИЯ ГРУПП НА ПРОСТРАНСТВЕ ТЕЙХМЮЛЛЕРА

Результаты Тёрстона об измеримых слоениях поверхностей и его компактификация пространства Тейхмюллера естественно приводят к классификации диффеоморфизмов топологически конечных ориентируемых поверхностен. В работе [1] Берс рассмотрел экстремальную проблему в теории Тейхмюллера и показал, что ее решение — либо несуществование решения — приводит к той же классификации. Ниже мы излагаем метод Берса. Иной подход к получению классификации принадлежит Харви [4]. Харви применил к модулярной группе Тейхмюллера технику комплексов Титса и графов групп.

В § 4 этой главы изучается непрерывное действие некоторой группы на пространстве Тейхмюллера. Это действие аналогично действию группы автоморфизмов единичного диска порожденной орициклическими потоками. Показано, что действие этой группы транзитивно на пространстве Тейхмюллера.

В § 5 делаются некоторые заключительные замечания и формулируются открытые проблемы.

§ 1. Экстремальная проблема Берса и вычисления для проколотых торов

Пусть дифференцируемая ориентированная поверхность конечного неисключительного типа Если риманова поверхность и диффеоморфизм, то можно снабдить конформной структурой поднимая ее с помощью а. В гомотопическом классе диффеоморфизма выберем отображение экстремальное в следующем смысле:

Из теорем Тейхмюллера, относящихся к поверхностям конечного неисключительного типа, следует, что такое существует и единственно, а либо конформно, либо является отображением Тейхмюллера. Берс рассматривал проблему

минимизации по всем возможным конформным структурам а. Положим

и поставим следующие вопросы: Будет ли

Существует ли на конформная структура а, для которой

Конформную структуру, для которой достигается назовем -минимальной. Так как любая экстремальная функция либо конформна, либо является отображением Тейхмюллера, то проблема Берса относится к классам диффеоморфизмов, действующих на пространстве Тейхмюллера. Действительно, вопрос можно перефразировать так:

Пусть индуцирует Существует ли такая, что

Эта переформулировка следует сразу из определения расстояния Тейхмюллера (см. § 5 гл. I). Для того чтобы классифицировать элементы выберем индуцирующие Результаты классификации приведены в следующей таблице:

(см. скан)

Эта классификация есть обобщение классификации элементов модулярной группы Тейхмюллера для торов с одним проколом. Этот случай является классическим, и вычисления, набросок которых мы даем ниже, в этом случае элементарны. Пусть решетка в Отождествим с набором точек где Предположим, что Фактор есть проколотый тор, и по теореме униформизации, рассматривая различные те мы получим все торы с одним проколом. Поэтому является моделью для Две точки определяют конформно эквивалентные торы тогда и только тогда, когда Это в свою очередь эквивалентно равенству где Таким образом, модулярной группой Тейхмюллера является классическая эллиптическая модулярная группа. Если то либо параболическое, либо эллиптическое,

либо гиперболическое как мёбиусово преобразование. Отсюда немедленно получается классификация (в гиперболической метрике). Сдвиг отображение скручивания, изображенное на рис. III. 1.

Рис. III.1.

Группа содержит также вращения периодов соответственно 2 и 3. Эти отображения оставляют неподвижными проколотые торы с симметриями, параллелограммы периодов которых изображены на рис. III. 2.

Рис. III. 2. Слева: ромб (неподвижная точка Справа: квадрат (неподвижная точка

Псевдогиперболические преобразования имеются только в пространствах Тейхмюллера более высоких размерностей.

Известно (см. Кравец [3] или Ройден [6]), что в расстояние Тейхмюллера совпадает с гиперболическим расстоянием. В пространствах Тейхмюллера более высоких размерностей любые две точки лежат в одной вполне определенной плоскости, которая изометрична гиперболической плоскости в метрике Используя это, можно снабдить пространство Тейхмюллера финслеровой структурой (см. приведенные выше ссылки).

В следующих параграфах мы исследуем связь между геометрией диффеоморфизмов и свойствами индуцированных ими модулярных преобразований.