§ 2. Проблема Грёча

В конце 20-х гг. Г. Грёч поставил и решил элементарную экстремальную задачу для конформных отображений. Экстремальное отображение оказалось аффинным. Ту же экстремальную задачу можно поставить для компактных поверхностей рода больше 1. Решение этой задачи дают теоремы Тейхмюллера, составляющие содержание этой главы. Доказательства утверждений Тейхмюллера гораздо сложнее рассуждений Грёча по двум причинам. Первая заключается в том, что на многообразии отображение будет аффинным только при определенном выборе локальной координаты, т. е. аффинность не является внутренним (инвариантным) свойством. Вторая причина состоит в том, что у компактной поверхности нет границы, в то время как в задаче Грёча имеются граничные условия. Первую трудность Тейхмюллер преодолел, пользуясь квадратичными дифференциалами, а вторую при помощи соображений эргодичности.

2.1. Задача Грёча

Пусть прямоугольники на комплексной плоскости. Для дальнейшей нормировки будем считать, что прямоугольнику отвечает упорядоченный набор вершин а прямоугольнику набор причем Для -диффео-морфизма положим

Теорема (Грёч). Если есть -диффеоморфизм, отображающий с сохранением упорядочения, то причем равенство достигается в том и только том случае, когда имеет вид

Рис. 1.1.

Доказательство. Пусть а — горизонтальная прямая в прямоугольнике как показано на рис. Тогда

Интегрируя по у, получаем

Так как якобиан равен то

Применяя неравенство Шварца и возводя в квадрат, получаем

что и требовалось. Введем обозначение и

Выясним теперь, при каких условиях достигается равенство. Если в (1) имеет место равенство, то при фиксированном Фиксируя видим, что на вертикальных линиях. Далее Так как то Кроме того, Неравенство Шварца превращается в равенство тогда и только тогда, когда где с — некоторая постоянная. В этом случае с некоторыми константами Теперь легко показать, что константы имеют требуемый вид. I