3.2. Координаты Фенхеля — Нильсена в пространстве Тейхмюллера

Покажем, как можно использовать разложение поверхности на панты для параметризации пространства Тейхмюллера.

Определение. Пусть риманова поверхность неисключительного типа Разложение поверхности на панты называется максимальным (геодезическим) разбиением, если каждая компонента есть простая геодезическая петля.

Рис. . Максимальное разбиение поверхности рода 2.

Неявно в этом определении максимального разбиения содержатся данные для сшивания. Точнее, имея разбиение Мы знаем, что компонента С границы есть либо идеальная граничная кривая, либо прокол, либо что ее следует

отождествить с выделенной компонентой некоторого с заданной ориентацией (рис. II. 6).

Пусть поверхность неисключительного типа максимальное разбиение. Обозначим граничные компоненты через Положим для удобства Для каждой пары имеется единственная геодезическая дуга а относительно внутренней метрики, такая, что:

один из концов а лежит на другой — на ;

если граничные кривые, то минимальная среди длин всех дуг, удовлетворяющих условию ;

если (соответственно -прокол, а (соответственно граничная кривая, то а ортогональна к (соответственно к

Обозначим конец дуги а на кривой через Точка будет считаться базисной точкой на кривой Когда отождествляется с мы выбираем положительное направление на согласованное с этим отождествлением. Если 9 разбивает так, что при этом отождествляется с то проведем это отождествление таким образом, чтобы точка совпала с точкой При этом мы получим новую риманову поверхность Выберем на какой-нибудь отмеченный набор.

Пусть С — любая спрямляемая кривая на и пусть ее внутренняя длина равна Отметим, что длина С во внутренней метрике также равна . В частности, если поверхность типа то гиперболическая длина С.

Нет никакой необходимости сохранять отождествление граничных кривых при котором точка переходит в Это условие можно снять. Тогда мы придем к другой связной сумме поверхностей Пусть а если Пусть направленное внутреннее расстояние от до Положим

Заметим, что определено однозначно по модулю

Можно также менять внутреннюю длину кривых а с ней и конформную структуру пантов Если делать это, согласовывая с последующими отождествлениями граничных кривых, то, как и раньше, можно без затруднений провести процесс склейки. Пусть полный набор значений внутренних длин кривых подчиненный следующим условиям;

предшествует если или но ;

опускается, если отождествлено с и либо либо

опускается, если прокол;

длины рассекающих кривых предшествуют длинам граничных кривых.

Пусть, далее, набор углов подчиненных условиям типа Кроме того, мы будем опускать если идеальная граничная компонента Можно рассматривать как множества функций на Элементарные комбинаторные рассуждения показывают, что если поверхность неисключительного типа то максимальное разбиение состоит из элементов, из элементов. Среди кривых длины которых включены в набор имеется кривых, с которыми не связаны никакие углы Поэтому имеет элементов. Если обозначить через набор чисел, обратных к числам набора то получим отображение

Лемма вещественно аналитическая вектор-функция на

Доказательство. Пусть и пусть замкнутая кривая. Предположим, далее, что нормирована. Если -внутренняя длина геодезической в классе свободной гомотопии а относительно метрики Пуанкаре на поверхности то, по лемме 3 § — вещественно аналитическая функция матричных элементов любого соответствующего классу а. Матричные элементы у представляют собой рациональные функции матричных элементов, порождающих группы Последние в свою очередь являются почти в точности координатами Фрике, которые вещественно аналитичны на

Лемма вещественно аналитическая функция на

Доказательство. Пусть представление с нормированной группой Каждая координата вычисляется исходя из длины и направленного расстояния вдоль между двумя точками х и у на а.

Здесь — внутренняя геодезическая в классе свободной гомотопии кривой а. Используя те же соображения, что и в предыдущей лемме, покажем, что -вещественно аналитическая функция на Расстояние определяется как интеграл, взятый вдоль кривой С в

концы х и у которой лежат над х и у соответственно. Кривая интегрирования вещественно аналитически зависит от х и у. Поэтому для доказательства вещественной аналитичности функций из набора достаточно установить, что х, у являются вещественно аналитическими функциями координат Фрике.

Кривая есть граничная компонента одних или двух пантов, участвующих в разложении Выберем фиксированное связное поднятие кривой .

Рис.

Пусть конец кривой А минимальной длины, соединяющей а с геодезической (и соответственно у — конец кривой В минимальной длины, соединяющей Поднимем все точки и кривые на добавляя знак «тильда» к каждому объекту (рис. II. 7). Концы кривых служат неподвижными точками вполне определенных элементов поэтому они являются вещественно аналитическими функциями на Далее, А — это кратчайшая кривая, соединяющая конец кривой Мы покажем, что вещественно аналитическая функция точек Этого, согласно приведенным выше рассуждениям, достаточно для доказательства леммы.

Пусть однозначно определенный автоморфизм, для которого Автоморфизм сохраняет расстояние и вещественно аналитичен. Пользуясь симметрией при отражении относительно прямой

мы видим, что должна быть ортогональна вещественной оси и кривой рис. II. 8). Ясно, что точка пересечения таких круговых дуг вещественно аналитически зависит от концов этих дуг.

Рис.

Отметим, что мы опустили случай, когда панты, прилежащие к являются сжатыми; в этом случае рассуждения становятся элементарными. I

Теорема. вещественно аналитическое накрытие.

Доказательство. Только что доказанные леммы показывают, что вещественно аналитично. Мы уже видели, что оно сюръективно. Осталось доказать, что для любой найдется правильно накрытая окрестность точки -обозначим ее и на ней вещественно аналитическое обращение отображения

Пусть разложение на панты, определяющее координаты Фенхеля — Нильсена. Пусть, далее, группа такова, что ядро Нильсена поверхности Тогда, зная длины кривых пояса, левого и правого вырезов пантов можно с точностью до сопряжения в восстановить группу

Выберем компоненту прообраза (см. рис. II. 7). Преобразование у, накрывающее кривую и имеющее своими неподвижными точками принадлежит одновременно группам Изменяя, если необходимо, нормировку, можно добиться, чтобы для поверхностей лежащих в некоторой окрестности точки точки оставались неподвижными точками соответствующих преобразований. Тогда находится однозначно с точностью до преобразования, оставляющего на месте точки Последнее преобразование сопряжения сдвигает у вдоль и соответствует как раз изменению угла (без отождествления углой,

отличающихся на кратное Это изменение угла вещественно аналитическим образом зависит от преобразования сопряжения, а следовательно, и от элементов Верно и обратное. Перенормировка в окрестности представляет собой вещественно аналитический диффеоморфизм. Но эта операция как раз и означает проведение склейки по разделяющим кривым, реализованное в терминах координат Фрике, т. е. на языке накрывающих групп.

Мы должны еще показать, что склеивание вдоль неразделяющих кривых также приводит к вещественно аналитическим возмущениям накрывающей группы. На рис. II. 9 представлена соответствующая картинка.

Рис.

Как и выше, будем считать, что выбрана нормировка, при которой точки неподвижны. Согласно теореме Ван-Кампена, фундаментальная группа объединения порождается Если кривая А накрывается преобразованием то определено с точностью до умножения слева на преобразование оставляющее неподвижными точки Преобразование реализует угол поворота при склейке, и это соответствие вещественно аналитично. Поэтому операция склеивания позволяет найти вещественно аналитическое обратное к в окрестности точки определяемой условием Доказательство закончено. I

Проведенное доказательство представляет собой перевод теоремы Ван-Кампена на геометрический язык универсального накрытия. Оно позволяет комбинировать фуксовы группы в удобной геометрической форме. В доказательстве скрыто использование комбинационных теорем Маскита [7].

Следствие. Отображение

накрывающее есть вещественно аналитический диффеоморфизм.

Определение. называется (неполным) пространством модулей Берса. Для параметры называются координатами Фенхеля — Нильсена поверхности

Заметим, что координаты зависят от начального разбиения на панты.

Неявно в этом следствии содержится утверждение, что координаты Фенхеля — Нильсена представляют собой глобальные вещественно аналитические координаты на определяемые однозначно с точностью до выбора базисной точки.

Так как вещественно аналитическое накрытие, то существует такая группа диффеоморфизмов пространства что Покажем теперь, что Пусть — простая замкнутая геодезическая на Определим диффеоморфизм поверхности разрезая ее вдоль кривой а и склеивая полученный разрез после поворота на угол (рис. 11.10). Класс изотопии этого диффеоморфизма называется скручиванием Дена — Ликориша та. В дальнейшем мы не будем делать различия между диффеоморфизмом, индуцирующим та, и его классом в или

Если разложена на панты не стягиваема в идеальную граничную компоненту то склеивание (знак соответствует выбору ориентации на кривой а) производится с помощью та. Поэтому есть не что иное, как группа скручиваний вдоль кривых а. Ясно, что класс изотопии или нетривиален. Таким образом, имеет место

Теорема 2. Пусть риманова поверхность неисключительного типа и разбиение на панты. Пусть полный набор граничных компонент которые не стягиваются на идеальную границу Если пространство модулей Берса, соответствующее этому разбиению, то где свободная абелева группа, порожденная Скручиваниями