1.3. Кольца и проколотые диски: метод экстремальных длин

Пусть риманова поверхность с краем, гомеоморфная проколотому диску Тогда имеет тип (0, 0, 2) или (0, 1, 1), причем всегда гиперболична. В первом случае накрывающая группа для имеет вид с некоторым вещественным Второму случаю соответствует группа Остановимся на поверхности типа (0, 0, 2). Число X можно использовать для параметризации классов голоморфной эквивалентности поверхностей типа (0, 0, 2). Накрывающая проекция

отображает в кольцо Другой способ описания состоит в том, что классы эквивалентности

параметризуются числом при этом поверхность конформно эквивалентна кольцу Число называется модулем кольца Несколько иную характеристику модуля кольца доставляет метод экстремальных длин, принадлежащий Альфорсу и Бёрлингу.

Теорема 1. Пусть А — кольцо измерима и

Обозначим через множество простых замкнутых кривых, разделяющих граничные компоненты кольца А. Положим

и пусть Тогда

Доказательство. В полярных координатах имеем неравенства

Интегрируя по получаем

Применяя неравенство Шварца, приходим к следующему результату:

или

Осталось заметить, что для это неравенство превращается в равенство. I

Если отображение конформно и инъективно, то можно поднять на кривые семейства и плотности

Так как конформный инвариант, то этим свойством обладает и правая часть равенства (3). Это наблюдение приводит к неравенству Грёча, которое мы сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 2 (супераддитивность модуля). Пусть кольцо, а с — простая замкнутая кривая, разделяющая граничные компоненты Если две компоненты то

Доказательство. Пусть семейство кривых, множество плотностей для Ясно, что Для положим

Пусть Тогда для и

Отсюда следует неравенство

Точная нижняя грань левой части есть Для 1, 2 каждую плотность можно продолжить до плотности полагая для Следовательно,

и, взяв в полученном неравенстве, придем к требуемому результату.

Применим теперь эти теоремы к процессу расширения Нильсена. Пусть риманова поверхность с краем типа расширение Нильсена поверхности Ограничение на полной гиперболической метрики поверхности есть внутренняя метрика поверхности Поэтому, согласно лемме 2 п. 1.2, каждая компонента дополнения топологически эквивалентна кольцу а. Вычислим теперь

Лемма. где -длина кривой в гиперболической метрике на

Доказательство. Обозначим через проекцию универсального накрытия а через — автоморфизм накрывающий Предположим, что кривая ориентирована таким образом, что Очевидно, что это допустимое предположение. Повторяя вычисления из доказательства теоремы 1, приходим к формуле

Теорема 3. Если риманова поверхность с краем, имеющая тип то ее бесконечное расширение Нильсена не имеет граничных кривых, т. е. конформно конечная поверхность.

Доказательство. Достаточно показать, что каждая компонента А дополнения конформно эквивалентна проколотому диску. Для этого в свою очередь достаточно установить, что Так как то

где через обозначена длина относительно внутренней метрики По лемме 2 п. 1.2 последовательность неограниченно возрастает и, следовательно,

Исследуем теперь деформации конформной структуры колец, индуцированные допустимыми отображениями.

Лемма 2. Пусть два кольца и диффеоморфизм с изолированными особенностями. Если то

Доказательство. Перейдем к дублю кольца который представляет собой тор с параллелограммом периодов Диффеоморфизм поднимается до отображения при подходящем выборе Приведенное в предыдущей главе решение задачи Грёча показывает, что минимизирует среди всех допустимых отображений в том и только том случае, когда аффинно.

С точностью до конформной эквивалентности можно представить в виде Отобразим множество с помощью выбранной ветви логарифма. Теперь экстремальное допустимое отображение принимает вид где

Так как отображение, осуществляемое логарифмом, конформно на то

Заключение леммы следует теперь из того, что

Теорема 4 (Волперт). Пусть гиперболические поверхности, диффеоморфизм с изолированными особенностями и Если замкнутая гиперболическая геодезическая на поверхности то гиперболическая геодезическая в классе кривой удовлетворяет неравенству

Доказательство. Пусть группа накрывающих преобразований универсального накрытия Сопрягая, если потребуется, мёбиусовым автоморфизмом, можно считать, что накрывается геодезической, идущей из в Тогда определяет преобразование Диффеоморфизм накрывается допустимым отображением причем Обозначим через циклическую группу, порожденную Ясно, что накрывает и отображение При этом кольцо. Применяя предыдущую лемму, получаем неравенство

Так как дилатация отображения — чисто локальная характеристика, Простые вычисления, проделанные ниже в п. 2.2 при доказательстве леммы 3, показывают, что Учитывая замечание, сделанное в начале п. 1.3, имеем

Комбинируя это неравенство с неравенством (4), получаем требуемый результат.