1.5. Теорема Тейхмюллера для поверхностей конечного топологического типа

Теоремы Тейхмюллера для замкнутых поверхностей без края можно распространить на поверхности конечного топологического типа. На самом деле доказательство этих теорем для поверхностей конечного топологического типа получается применением соответствующих утверждений к поверхностям типа

Пусть поверхность типа , и пусть — другая риманова структура на этой поверхности. Предположим, что отображение допустимо. Используя классический (восходящий еще к Риману) метод разрезов вдоль кривых, соединяющих точки ветвления, можно построить двулистное накрытие поверхности с ветвлением второго порядка в каждой из точек прокола. Далее, поднимается до отображения так, чтобы диаграмма

была коммутативной. Согласно теоремам Тейхмюллера для компактных поверхностей без края, среди всех допустимых отображений деформация Тейхмюллера — единственное отображение с наименьшим отклонением Так как допустимые отображения поднимаются на накрытия с сохранением отклонения, то При этом равенство достигается в том и только том случае, если деформация Тейхмюллера, которую мы обозначим через

Пусть преобразование, переставляющее листы накрытия Поскольку конформно, имеем Ввиду единственности отображения Тейхмюллера Таким образом, накрывает допустимое отображение Ясно, что единственная экстремаль задачи минимизации отклонений для всех отображений, гомотопных Далее, можно предполагать, что как множества совпадают и что тождественное

отображение на Применим теперь теорему Тейхмюллера для компактных поверхностей. Согласно этой теореме, найдется такой квадратичный дифференциал что есть отображение из

кроме случая, когда конформно. Последний тривиален, поэтому мы сосредоточим внимание на общем случае. Локально со проектируется в квадратичный дифференциал на проколотой поверхности Нужно показать, что такая проекция со определена глобально. Если со не симметрично относительно инволюции то, используя приведенные выше рассуждения, можно показать, что деформация Тейхмюллера

также накрывает . Согласно утверждению о единственности в теореме Тейхмюллера, поэтому проектируется в ненулевой квадратичный дифференциал на проколотой поверхности

Представляется важным определить природу возможных особенностей в проколах. Пусть — прокол. Используя локальную координату в окрестности представим о в нормированном виде При этом четно, поскольку со симметрично в окрестности Так как то локально

Если то имеет в точке простой полюс; в остальных случаях голоморфен в окрестности Таким образом, доказана

Лемма 1. Пусть поверхность типа , отличного от (0, 2, 0) и (0, 4, 0), с и пусть другая структура римановой поверхности на Тогда среди всех допустимых отображений гомотопных тождественному деформация Тейхмюллера есть единственная экстремаль для задачи минимизации

Мы хотим распространить лемму 1 на случай поверхностей конечного конформного типа с нечетным числом проколов. Так как группа конформных автоморфизмов сферы Римана -транзитивна, то все поверхности типа (0, 3, 0) конформно эквивалентны. Поэтому случай поверхностей типа (0, 3, 0) можно не рассматривать. Пусть опять обозначает

новую конформную структуру на поверхности типа и пусть - допустимое отображение, гомотопное тождественному. Построим двулистное накрытие поверхности с точками ветвления порядка 2 в проколах Обозначим через аналогичное, накрытие для Прокол имеет два прообраза Поэтому можно уже рассматривать как поверхность с четным числом проколов. Построим двулистное накрытие поверхности с точками ветвления порядка 2 в и Поверхность компактна, а поднимается до допустимого отображения гомотопного тождественному. Так как род равен то по теореме Тейхмюллера

где деформация Тейхмюллера. Повторяя соответствующую часть доказательства леммы 1, получаем следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть гиперболическая поверхность типа Если другая конформная структура на типа то в классе всех допустимых отображений гомотопных тождественному, существует деформация Тейхмюллера, которая является единственным отображением, минимизирующим функционал

Пусть теперь . В этом случае можно построить неразветвленное двулистное накрытие поверхности Прокол поднимается на накрытие в два прокола; применяя лемму 1, мы получаем существование и единственность деформаций Тейхмюллера и для поверхностей положительного рода с одним проколом.

Остался пропущенным один важный случай. Если имеет тип (0, 4, 0), то построим ее двулистное накрытие разветвленное в проколах с порядком ветвления представляет собой тор с выделенными точками, а именно точками, накрывающими проколы. К поверхности можно уже применить лемму 1, утверждающую существование и единственность деформации Тейхмюллера.

Суммируя полученное, мы видим, что доказана

Теорема 1. Пусть -риманова поверхность типа , и пусть — другая конформная структура на поверхности также типа

Допустим, что не гомотопно конформному отображению. Тогда существует деформация Тейхмюллера гомотопная тождественному отображению. Среди всех допустимых отображений гомотопных тождественному, единственное отображение, минимизирующее

Это и есть теорема Тейхмюллера для поверхностей конечного конформного типа. Чтобы распространить эту теорему на поверхности конечного топологического типа, поступим следующим образом. Так же как и при доказательстве леммы 1, перейдем к дублю поверхности, а затем применим теорему 1. В результате получаем следующую теорему.

Теорема 2 (теорема Тейхмюллера для поверхностей конечного топологического типа). Пусть — риманова поверхность типа , универсальная накрывающая которой конформно эквивалентна единичному кругу. Пусть, далее, другая структура римановой поверхности на с теми же проколами и теми же идеальными граничными компонентами. Тогда существует деформация Тейхмюллера гомотопная тождественному отображению. При этом среди всех допустимых отображений гомотопных тождественному, единственное отображение, минимизирующее функционал