1.4. Деформации Тейхмюллера поверхностей конечного топологического типа

Пусть риманова поверхность типа Мы будем считать, что не совпадает ни с одним из следующих наборов: (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (0,2,0), (0, 0, 2). Тогда на дубле поверхности можно ввести гиперболическую метрику. Теория Тейхмюллера деформаций конформной структуры поверхности получается как несложное следствие теории Тейхмюллера компактных поверхностей

без края, если при этом установлены естественные рамки для исследуемых объектов.

Определение. Допустимым квадратичным дифференциалом со на поверхности называется ограничение на дифференциала мероморфного квадратичного дифференциала на удовлетворяющего условиям:

в каждом из проколов на дифференциал имеет самое большее полюс первого порядка;

является одной из -горизонтальных линий.

Обозначим через пространство допустимых квадратичным дифференциалов на

Рис.

Свойствам можно дать более геометрическое выражение, сказав, что со принимает вещественное значение на и либо имеет в каждом проколе простой полюс, либо голоморфно продолжается в эти проколы. В окрестности прокола в котором со имеет полюс, горизонтальное (и вертикальное) слоение имеет вид, указанный на рис. II. 2.

Рис.

Возможные типы структуры слоев в окрестности граничной кривой показаны на рис. И.З. Вдоль кривой А дифференциал не имеет нулей, а вдоль В он имеет один нуль четвертого порядка. Заметим, что соображения симметрии требуют, чтобы нули на были четного порядка.

Как и в случае замкнутых поверхностей, в окрестности точек, отличных от нулей можно ввести локальную координату

Если то, как и раньше, на можно определить новую структуру римановой поверхности с краем, которую мы снова обозначим через Здесь Это деформация Тейхмюллера поверхности определенная данными со и

Определение. Пусть определенная на структура римановой поверхности конечного типа. Отображение называется допустимым, если

проколы отображаются в проколы;

диффеоморфизм на дополнении в к дискретному множеству точек, которые могут накапливаться только к граничным кривым;

где в терминах локальных координат ; имеем

В этом определении неявно содержится требование, чтобы граничные кривые переходили в граничные кривые. Поэтому допустимые деформации сохраняют тип идеальных граничных компонент.

Лемма Деформации Тейхмюллера допустимы.

Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что при отображении проколы переходят в проколы. Пусть прокол его достаточно малая окрестность, не содержащая других проколов. Обозначим через область с конформной структурой, индуцированной структурой Существует отображение накрывающее отображение (см. начало п. 4.2 гл. I, где доказано аналогичное утверждение). По следствию 1 п. 1.1 группа накрывающих преобразований накрытия циклическая и состоит из параболических элементов. Согласно следствию 2 п. 1.1, для доказательства того, что проколотый диск, достаточно установить, что циклическая параболическая группа.

Для деформации Тейхмюллера отклонение постоянно почти всюду. Поэтому удовлетворяет неравенству По теореме существования и

единственности единственное (с точностью до суперпозиции с мёбиусовым преобразованием) решение уравнения Бельтрами Поэтому можно продолжить до гомеоморфизма Следовательно, любой элемент имеет единственную неподвижную точку, а следовательно, параболичен.