§ 1. Униформизация и фуксовы группы

1.1. Теорема униформизации

Считается общепризнанным, что теория римановых поверхностей выделяется в общей теории комплексных многообразий двумя основными теоремами и их следствиями. Вторая из этих теорем составляет предмет всей этой главы, а первая — это следующая теорема униформизации.

Теорема. Пусть произвольная риманова поверхность; тогда голоморфно эквивалентна одной из следующих поверхностей:

В качестве первого приложения этого результата мы классифицируем голоморфные универсальные накрывающие компактных римановых поверхностей. Если род равен 0, то односвязна и, следовательно, голоморфно эквивалентна С. Если род равен 1, то свободная абелева группа ранга 2 и с точностью до голоморфной эквивалентности где группа накрывающих преобразований универсального голоморфного накрытия Так как накрытие голоморфно, то где группа голоморфных автоморфизмов 3. Поверхность 3 не может быть голоморфно эквивалентна С, поскольку группа голоморфных автоморфизмов для С есть в точности группа мёбиусовых преобразований

Каждое мёбиусово преобразование имеет по крайней мере одну неподвижную точку в С. Поэтому группа не может действовать собственно разрывно в С, если только не тривиальна.

Группа голоморфных автоморфизмов полуплоскости которую мы обозначаем состоит из мёбиусовых преобразований с вещественными коэффициентами и изоморфна Разрывные подгруппы группы называются

фуксовыма группами и представляют собой кристаллографические группы сохраняющих ориентацию преобразований гиперболической плоскости (плоскости Пуанкаре). Вещественные мёбиусовы преобразования классифицируются следующим образом: преобразование называется соответственно эллиптическим, параболическим или гиперболическим, если или Любое параболическое преобразование сопряжено в группе сдвигу любое гиперболическое преобразование сопряжено подобию с некоторым Эллиптическое преобразование имеет в неподвижную точку; поэтому группа накрывающих преобразований неразветвленного накрытия не может содержать эллиптических элементов.

Предположим теперь, что 5 голоморфно эквивалентна Согласно теореме униформизации, это верно для всех поверхностей рода Гиперболическая метрика Пуанкаре на имеет вид и -инвариантна. Поэтому она проектируется в гладкую метрику на в случае любой собственно разрывной группы Пусть соответствующая проекция.

Лемма 1. Если компактна, то каждый элемент гиперболичен.

Доказательство. Предположим, что параболичен. Сопрягая можно считать, что у — сдвиг: Отображение у определяет класс свободно гомотопных замкнутых кривых на Так как 5 компактна, то

где длина кривой а в метрике Пуанкаре. Для любого

и Полученное противоречие доказывает лемму.

Таким образом, можно считать, что каждый нетривиальный элемент имеет в неподвижные точки. Так как разрывна, то она является дискретной подгруппой следовательно, счетна.

Лемма 2. Пусть гиперболические преобразования. Тогда коммутируют в том и только том случае, когда они имеют одни и те же неподвижные точки.

Доказательство. Свойство элементов группы коммутировать инвариантно относительно сопряжения, поэтому можно

считать, что у: где где Суперпозиции мёбиусовых преобразований соответствует произведение матриц. Поэтому условие коммутативности принимает вид

Простое вычисление показывает, что это условие эквивалентно равенствам т. е. тому, что имеет вид

Из этой леммы непосредственно следует, что не имеет свободных абелевых разрывных подгрупп ранга 2 с гиперболическими порождающими. В частности, для поверхности рода 1 имеем

Риманова поверхность называется гиперболической (соответственно параболической или эллиптической), если 5 голоморфно эквивалентна (соответственно С, или С). Имеет место следующее

Предложение 1. Пусть род компактной римановой поверхности равен Тогда (соответственно в том и только том случае, когда эллиптическая (соответственно параболическая или гиперболическая).

Предложение 2. Если имеет род больше — голоморфный автоморфизм гомотопный тождественному, то

Доказательство. Представим в виде и пусть гомотопия к тождественному автоморфизму. Автоморфизм накрывается мёбиусовым преобразованием у, которое принадлежит нормализатору При этом тогда и только тогда, когда Пусть геодезическая в метрике Пуанкаре в классе свободной гомотопии кривой Тогда Кривой соответствует некоторый элемент неподвижные точки которого совпадают с концевыми точками множества Поэтому у оставляет эти концевые точки неподвижными. Так как группа не циклическая, у оставляет на месте более двух точек. Следовательно,